求( / n^n )^( 1/n ) 的极限.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/22 12:31:02

求( / n^n )^( 1/n ) 的极限.
网上的回答：
Xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数,
lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成 f(x)=lnx 在[0,1]上的一个积分和.即对[0,1]
区间作n等分,每个小区间长1/n.
########## 我个人觉得下面这里不太对～,怎么是定积分?
因此当n趋于无穷时,lnXn等于f(x)=lnx在[0,1]上的定积分.
lnx在[0,1]上的定积分为-1
所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1.
由于 Xn=e^(lnXn),
于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.

这个做法是不严谨的
如果f(x)在[0,1]上Riemann可积,那么那个求和确实可以看作Riemann和
这里的问题在于lnx在[0,1]上不是Riemann可积的,不能直接把求和的极限转化为积分
再问：好的吧，话说我刚刚在看高数上。貌似这个情形符合（无界函数的反常积分同济6上p257-258）【也可以使用牛顿-莱布尼茨公式】，这样的话，应该证明就没太大问题了吧。；再结合这个答案：∫ [0,1] lnx dx=xlnx [0,1]-∫ [0,1] x*(1/x) dx=0-∫ [0,1] 1 dx=-1；因为lim (x趋于0+) xlnx=lim (x趋于0+) lnx/x^(-1)=lim (x趋于0+) -(1/x)/x^(-2)=lim (x趋于0+) -x=0 @电灯剑客你觉得这样证明怎么样？
再答：我已经说了，这个求和不可以直接转化到∫ [0,1] lnx dx，无界函数的反常积分是由Riemann积分的极限来得到的，如果按Riemann和来看就是(Riemann和的极限)的极限，你不能随意的把两个极限运算交换。我在评论里给你写了如何用积分来证明，你可以理解成这是对该方法的修正，但不代表原来的证明本身是合理的。
再问：实在不好意思再烦您最后一次，我想说 \int_0^1 lnx dx

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