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如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于点G.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/19 15:56:32
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于点G.
(1)求证:GF‖AC
(2)证明:菱形AGFE
(3)若∠C=30°,AB=4cm,求AGFE的周长和面积
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于点G.
角AEB=角C+角EBC=角C+(角ABC/2)
角AGE=角ABE+角BAD=(角ABC/2)+90度-角ABC=(角ABC/2)+角C
所以:角AEB=角AGE
三角形AGE为等腰三角形
而:AF是∠DAC的平分线
所以AF垂直平分GE
在三角形ABF中,BE是∠ABC的平分线,且BE垂直AF
所以:三角形ABF是等腰三角形
所以:AO=OF
在四边形AGFE中,AO=OF,GO=OE
所以:四边形AGFE为平行四边形
GE‖AC
而AF垂直平分GE
所以:三角形AGO全等于三角形AOE
AG=AE
AGFE为菱形
角ABE=角ABC/2=(1/2)(90度-角C)=30度
AE=AB*tan30度=(4/3)(根号3)
AGFE的周长=4*AE=(16/3)(根号3)
角EAO=角CAD/2=角ABC/2=30度
OE=AE*sin30度=(2/3)(根号3)
AO=AE*cos30度=2
面积=2*AO*OE=(8/3)(根号3)