已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 20:05:04

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1.
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0,b∈R)、设方程f(x)=x有两个实数根x1,x2
1、如果x1

设g(x)=f(x)-x = ax^2 + (b-1) x + 1,1、由根与系数的关系：x1+x2=(1-b)/a,x1*x2=1/a>0（a>0）,所以,x1、x2同号,因为x2>2>0,所以x1>0,又2<x2<4,所以1/4<x1<1/2,9/4<x1+x2<9/2,对称轴方程为x=x0=(x1+x2)/2∈(9/8, 9/4),所以x0>9/8>-1. 2、g(x)=0有一个根在区间(0, 2)内,于是,g(0)*g(2)<0,即：1*(4a+2b-1)<0,在平面直角坐标系AOB中做出直线4a+2b-1=0的图像,如图中红色直线所示,这个不等式的解的区域在红色直线的下方（不含边界）.由根与系数的关系：x1+x2=(1-b)/a,x1*x2=1/a,因为|x1-x2|=2,所以4=|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=(1-b)^2/a^2-4/a,化简,(2a+1)^2-(b-1)^2=1,(a+1/2)^2/(1/2)^2-(b-1)^2=1,表示的图像是一条双曲线,其渐进线为 b=-2a, b=2a+2,所以(a, b)的轨迹是这条双曲线位于前面不等式解的区域中的部分（直线4a+2b-1=0下方部分）,前面从不等式解出的(a, b)的取值范围的边界恰好就是该双曲线的一条渐进线向右平移1/2个单位得到的,故双曲线的左支不会和直线4a+2b-1=0相交.由图像可以判断b的取值范围形如b≤b0.直线和双曲线有1个交点,求出交点坐标即可.双曲线方程与边界直线方程联立,4a+2b-1 = 0, 4*a+4*a^2 = (b-1)^2,解为a = 1/8, b = 1/4；故b的取值范围是(-∞, 1/4).

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