大师作文网设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 05:29:44
设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA
证明:因为r(A)=1
所以 A 有一个非零列向量α,且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则 A = (k1α,k2α,...,knα) 某个ki=1.
= α(k1,k2,...,kn)
记 β = (k1,k2,...,kn)'
则 A = αβ'.
所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令 k = β'α
则 A^2=kA.
注:β'α 是两个向量的内积,是一个数.
所以 A 有一个非零列向量α,且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则 A = (k1α,k2α,...,knα) 某个ki=1.
= α(k1,k2,...,kn)
记 β = (k1,k2,...,kn)'
则 A = αβ'.
所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令 k = β'α
则 A^2=kA.
注:β'α 是两个向量的内积,是一个数.
设A为n阶方阵,且R（A）=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使（A*）^2=kA*
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B)
设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))
设A为n阶矩阵,且行列式A=a,K为任意常数,则行列式kA=?
设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n
设A为n阶矩阵,r(A)=1,求证：(1)A=(a1 a2 .an)（列向量）*（b1,b2.bn ) (2) A^2=
设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,求证：r(A)+r(B)≤n
线性代数 设A为n（n>2）阶实对称矩阵,A^2=A,秩（A)=r
设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且r(A)=n.求证：（1）如果AB=O,则B=O;(2)如果AB=A,则B=I.