大师作文网数列与函数 不等式的综合问题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 08:51:36
（2011•惠州一模）已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn=anf（an），记数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
（3）若cn=anlgan，问是否存在实数m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．答案 解：（1）由题意f（an）=4+2（n-1）=2n+2，即logman=2n+2，
∴an=m2n+2
∴an+1an＝m2(n+1)+2m2n+2＝m2
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）由题意bn=anf（an）=m2n+2logmm2n+2=（2n+2）•m2n+2，
当m＝2时，bn＝(2n+2)•2n+1＝(n+1)•2n+2
∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①
①式乘以2，得2Sn=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②
②-①并整理，得Sn=-2•23-24-25-26-…-2n+2+（n+1）•2n+3=-23-[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3
=−23−23[1−2n]1−2+(n+1)•2n+3=-23+23（1-2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n
（3）由题意cn=anlgan=（2n+2）•m2n+2lgm，要使cn-1＜cn对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2
∴n＞m21−m2对一切n≥2成立，只需m21−m2＜2，
解得−63＜m＜63，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜63．
综上，当0＜m＜63或m＞1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项问题 ∴n＞m21−m2对一切n≥2成立，只需m21−m2＜2，这一步是怎么来的？为什么 有n>m^2/1-m^2 呢？求解 谢谢
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn=anf（an），记数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
（3）若cn=anlgan，问是否存在实数m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．答案 解：（1）由题意f（an）=4+2（n-1）=2n+2，即logman=2n+2，
∴an=m2n+2
∴an+1an＝m2(n+1)+2m2n+2＝m2
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）由题意bn=anf（an）=m2n+2logmm2n+2=（2n+2）•m2n+2，
当m＝2时，bn＝(2n+2)•2n+1＝(n+1)•2n+2
∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①
①式乘以2，得2Sn=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②
②-①并整理，得Sn=-2•23-24-25-26-…-2n+2+（n+1）•2n+3=-23-[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3
=−23−23[1−2n]1−2+(n+1)•2n+3=-23+23（1-2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n
（3）由题意cn=anlgan=（2n+2）•m2n+2lgm，要使cn-1＜cn对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2
∴n＞m21−m2对一切n≥2成立，只需m21−m2＜2，
解得−63＜m＜63，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜63．
综上，当0＜m＜63或m＞1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项问题 ∴n＞m21−m2对一切n≥2成立，只需m21−m2＜2，这一步是怎么来的？为什么 有n>m^2/1-m^2 呢？求解 谢谢
解题思路： 数列
解题过程：
最终答案：略
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最终答案：略