已知双曲线的中心为o,实轴,虚轴的长分别为2a,2b,(a<b),若p,q分别为双曲线上的两点,且op⊥oq,
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 18:37:50
已知双曲线的中心为o,实轴,虚轴的长分别为2a,2b,(a<b),若p,q分别为双曲线上的两点,且op⊥oq,
证明1/op^2+1/oq^2是定值(用参数方程)
证明1/op^2+1/oq^2是定值(用参数方程)
参数方程真恶心.化简到吐血,自己慢慢看吧
P(acosx,bsinx)
tanα=bsinx/acosx = b/a * tanx
tanx = a/b * tanα
tan^2 x = a^2/b^2 * tan^2 α
cos^2 x = 1/(a^2/b^2 * tan^2 α + 1)
= b^2 / (a^2tan^2 α + b^2)
sin^2 x = a^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)
模OP = 根号(a^2(b^2 / (a^2tan^2 α + b^2)) + b^2(a^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)
= 根号(a^2b^2 / (a^2tan^2 α + b^2) + a^2b^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)))
= 根号(a^2b^2(1+tan^2 α)/ (a^2tan^2 α + b^2)
= ab根号(1/(a^2tan^2α + b^2))/cosα
α'=α+pi/2
1/(模OP^2) +1/(模QO^2)
= cos^2α(a^2tan^2α + b^2)/a^2b^2 + cos^2α'(a^2tan^2α' + b^2)/a^2b^2
= (cos^2α(a^2tan^2α + b^2) + sin^2α(a^2cot^2α + b^2))/a^2b^2
= (a^2tan^2αcos^2α + b^2cos^2α + a^2sin^2αcot^2α + b^2sin^2α))/a^2b^2
= (a^2sin^2α + b^2cos^2α + a^2cos^2α + b^2sin^2α))/a^2b^2
= (a^2*1 + b^2*1)/a^2b^2
= (a^2 + b^2)/a^2b^2
所以1/(模OP^2) +1/(模QO^2)为定值
这个是代数的 设P(x1,y1)Q(x2,y2)
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设PQ方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线PQ的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OP²+1/OQ²=(OP²+OQ²)/(OP²*OQ²)=PQ²/(PQ*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
P(acosx,bsinx)
tanα=bsinx/acosx = b/a * tanx
tanx = a/b * tanα
tan^2 x = a^2/b^2 * tan^2 α
cos^2 x = 1/(a^2/b^2 * tan^2 α + 1)
= b^2 / (a^2tan^2 α + b^2)
sin^2 x = a^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)
模OP = 根号(a^2(b^2 / (a^2tan^2 α + b^2)) + b^2(a^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)
= 根号(a^2b^2 / (a^2tan^2 α + b^2) + a^2b^2tan^2 α / (a^2tan^2 α + b^2)))
= 根号(a^2b^2(1+tan^2 α)/ (a^2tan^2 α + b^2)
= ab根号(1/(a^2tan^2α + b^2))/cosα
α'=α+pi/2
1/(模OP^2) +1/(模QO^2)
= cos^2α(a^2tan^2α + b^2)/a^2b^2 + cos^2α'(a^2tan^2α' + b^2)/a^2b^2
= (cos^2α(a^2tan^2α + b^2) + sin^2α(a^2cot^2α + b^2))/a^2b^2
= (a^2tan^2αcos^2α + b^2cos^2α + a^2sin^2αcot^2α + b^2sin^2α))/a^2b^2
= (a^2sin^2α + b^2cos^2α + a^2cos^2α + b^2sin^2α))/a^2b^2
= (a^2*1 + b^2*1)/a^2b^2
= (a^2 + b^2)/a^2b^2
所以1/(模OP^2) +1/(模QO^2)为定值
这个是代数的 设P(x1,y1)Q(x2,y2)
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设PQ方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线PQ的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OP²+1/OQ²=(OP²+OQ²)/(OP²*OQ²)=PQ²/(PQ*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上有两点P,Q,O为坐标原点,设直线OP,OQ的斜率分别为
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2,O为双曲线的中心,P是双曲线右支上的点,三角形P
双曲线的虚轴长为4,离心率e=62,F1、F2分别是它的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB
已知双曲线焦点为F1(﹣c,0),F2(c,0),过F2且斜率为√(3/5)的直线交双曲线于P,Q两点,若OP⊥OQ,|
已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 的左右焦点分别为F1,F2,O为双曲线的中心.P是双曲线右支上的点,三角形
已知双曲线的焦点F1(-c,0)、F2(c,0),过F2且斜率为 根号(3/5)的直线交双曲线于P、Q两点,若OP⊥OQ
已知椭圆的中心为O,长轴.短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB
已知F为双曲线C:x^2/9-y^/16=1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段
已知F1F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,P为双曲线上的一点,
双曲线 试题 双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为根号下15除以5的直线交双曲线于P,Q两点,若OP
双曲线的焦点为F1(-C,0),F2(C,0),过F2且斜率为√3/5的直线交双曲线于P、Q两点,若op垂直oq,pq的