一题经典的数论题目,若ax(0)+by(0)是形如ax+by(x,y为任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的最小整数,
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 22:18:54
一题经典的数论题目,
若ax(0)+by(0)是形如ax+by(x,y为任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的最小整数,则[ax(0)+by(0)]|(ax+by)
给个详细点的证明谢谢.
若ax(0)+by(0)是形如ax+by(x,y为任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的最小整数,则[ax(0)+by(0)]|(ax+by)
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证 ∵ax+by是整数,且ax0+by0>0,由带余除法,
ax+by=(ax0+by0)q+r(q是整数,0≤r<ax0+by0).
∴ r=ax+by-(ax0+by0)q=a(x-x0q)+b(y-y0q),
说明r也是形如ax+by的数,但ax0+by0是形如ax+by这样的数的集合中最小正数,又0≤r<ax0+by0,
∴ r=0,
即得 (ax0+by0)|(ax+by).
ax+by=(ax0+by0)q+r(q是整数,0≤r<ax0+by0).
∴ r=ax+by-(ax0+by0)q=a(x-x0q)+b(y-y0q),
说明r也是形如ax+by的数,但ax0+by0是形如ax+by这样的数的集合中最小正数,又0≤r<ax0+by0,
∴ r=0,
即得 (ax0+by0)|(ax+by).
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