实变函数 依测度收敛设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续 证明{g(fn)}在[a,b]依测
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 02:22:40
实变函数 依测度收敛
设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续
证明{g(fn)}在[a,b]依测度收敛于{g(f)}
设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续
证明{g(fn)}在[a,b]依测度收敛于{g(f)}
因为{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f ,{fn}的子列{fni}依测度收敛于f.由黎斯定理,存在子列{fni},使得i趋近无穷大时lim{fni}=f,几乎处处于[a,b].
由g(x)在R上一致连续,得i趋近无穷大时lim g(fni)=g(f),几乎处处于[a,b].
在区间[a,b]上,由可测集上的连续函数是可测函数,得知g(fni)是可测函数且g(fni)是有限的.
再由Lebesgue定理:直接得到g(fni)依测度收敛于g(f)
由g(x)在R上一致连续,得i趋近无穷大时lim g(fni)=g(f),几乎处处于[a,b].
在区间[a,b]上,由可测集上的连续函数是可测函数,得知g(fni)是可测函数且g(fni)是有限的.
再由Lebesgue定理:直接得到g(fni)依测度收敛于g(f)
已知序列函数fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f,且fn(x) 在[a,b]上有界.g(x)是在R上的连续函数,
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