求∫根号下(2ax-x²)dx
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 20:29:41
求∫根号下(2ax-x²)dx
∫ √(2ax - x²) dx
= ∫ √[a² - (x - a)²] dx
令x - a = asinz,dx = acosz dz
= ∫ |acosz|(acosz) dz
= a²∫ cos²z dz
= (a²/2)∫ (1 + cos2z) dz
= (a²/2)z + (a²/2)sinzcosz + C
= (a²/2)arcsin[(x - a)/a] + (a²/2)[(x - a)/a][√(2ax - x²)/a] + C
= (a²/2)arcsin(x/a - 1) + (1/2)(x - a)√(2ax - x²) + C
再问: 其实我想问的是球体表面积可不可以用∫ 2πydx(从0到2a)y²+(x-a)²=a²
再答: 可以。 y² + (x - a)² = a² y = √[a² - √(x - a²)] = √(2ax - x²) 球截面周长 = 2π√(2ax - x²) 球表面积 = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πy dx,这个积分的求法如上
再问: 希望你把详细过程推导一遍 非常感谢
再答: 额,这个推导网上不是有许多资源吗?看看就会了,很简单 基本概念是从圆周开始,然后不断累加为球体表面积的。 球体体积的推导也是同样原理。
再问: 好像最后结果不等于4πr² 是不是你刚才的不定积分错了
再答: 倒给你提醒了,这推导的过程应该用弧微分方法求才是的。最初就以为只求那么简单的不定积分... y = √(2ax - x²),(y')² = (a - x)²/(2ax - x²) dS = √[1 + (y')²] dx = √[1 + (a - x)²/(2ax - x²)] dx = a/√(2ax - x²) dx 表面积A = ∫(0→2a) 2πy dS = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) * a/√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πa dx = 4πa²
= ∫ √[a² - (x - a)²] dx
令x - a = asinz,dx = acosz dz
= ∫ |acosz|(acosz) dz
= a²∫ cos²z dz
= (a²/2)∫ (1 + cos2z) dz
= (a²/2)z + (a²/2)sinzcosz + C
= (a²/2)arcsin[(x - a)/a] + (a²/2)[(x - a)/a][√(2ax - x²)/a] + C
= (a²/2)arcsin(x/a - 1) + (1/2)(x - a)√(2ax - x²) + C
再问: 其实我想问的是球体表面积可不可以用∫ 2πydx(从0到2a)y²+(x-a)²=a²
再答: 可以。 y² + (x - a)² = a² y = √[a² - √(x - a²)] = √(2ax - x²) 球截面周长 = 2π√(2ax - x²) 球表面积 = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πy dx,这个积分的求法如上
再问: 希望你把详细过程推导一遍 非常感谢
再答: 额,这个推导网上不是有许多资源吗?看看就会了,很简单 基本概念是从圆周开始,然后不断累加为球体表面积的。 球体体积的推导也是同样原理。
再问: 好像最后结果不等于4πr² 是不是你刚才的不定积分错了
再答: 倒给你提醒了,这推导的过程应该用弧微分方法求才是的。最初就以为只求那么简单的不定积分... y = √(2ax - x²),(y')² = (a - x)²/(2ax - x²) dS = √[1 + (y')²] dx = √[1 + (a - x)²/(2ax - x²)] dx = a/√(2ax - x²) dx 表面积A = ∫(0→2a) 2πy dS = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) * a/√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πa dx = 4πa²
求积分 ∫根号下(x^2+1)dx
求不定积分dx/(x*根号下(1-x^2))
求∫(sin根号下x) dx
求不定积分x ∫(1-x^2)/x根号下x dx
求不定积分∫根号下(x^2-a^2) dx
求不定积分∫dx/根号下(1-2x^2),
求不定积分∫根号下(4X^2+1)dx
∫dx/根号下(4x^2+9) 和∫x/根号下(x-3)dx 这两个怎么求?
∫x*arctanx/(根号下(1+x^2))dx怎么求
高数题 ∫上-2下-3 dx/x²乘以根号下(x²-1)
求定积分∫(上限1,下限1/根号2) 根号下(1-x²)/x² dx
求定积分∫(上限根号3,下限1) 1/x²根号下(1+x²) dx