定积分计算∫(0,π/2)1/(1+(cot x)^(2007)dx
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 16:18:17
定积分计算∫(0,π/2)1/(1+(cot x)^(2007)dx
1/[1+(cotx)^2007]=1/[1+(cosx/sinx)^2007]=(sinx)^2007/[(sinx)^2007+(cosx)^2007]
观察这种形式(含有sinx,cosx),要用定积分的一个性质:
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(0,π/2) f(cosx)dx ①式
(即把sinx与cosx互相替换)
对本题,有
原积分=∫(0,π/2) f(sinx)dx
=∫(0,π/2) f(cosx)dx
=∫(0,π/2) (cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]
=1/2·∫(0,π/2) (sinx)^2007/[(sinx)^2007+(cosx)^2007]+(cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]dx
=1/2·∫(0,π/2) dx
=π/4
若要证明 ①式,用变量代换
令t=π/2-x,则dt=-dx
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(π/2,0) f(cost) (-dt)=∫(0,π/2) f(cost)dt=∫(0,π/2) f(cosx)dx
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观察这种形式(含有sinx,cosx),要用定积分的一个性质:
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(0,π/2) f(cosx)dx ①式
(即把sinx与cosx互相替换)
对本题,有
原积分=∫(0,π/2) f(sinx)dx
=∫(0,π/2) f(cosx)dx
=∫(0,π/2) (cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]
=1/2·∫(0,π/2) (sinx)^2007/[(sinx)^2007+(cosx)^2007]+(cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]dx
=1/2·∫(0,π/2) dx
=π/4
若要证明 ①式,用变量代换
令t=π/2-x,则dt=-dx
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(π/2,0) f(cost) (-dt)=∫(0,π/2) f(cost)dt=∫(0,π/2) f(cosx)dx
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