什么是函数?初几开始学函数?函数难吗?

什么是函数?初几开始学函数?函数难吗?

在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素.----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.自变量,函数一个与他量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值.----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.函数两组元素一一对应的规则,第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.functions 数学中的一种对应关系,是从非空集合A到实数集B的对应.简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数 .精确地说,设X是一个非空集合,Y是非空数集 ,f是个对应法则 , 若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 , 就称对应法则f是X上的一个函数,记作y＝f（x）,称X为函数f（x）的定义域,集合{y|y=f（x）,x∈X}为其值域（值域是Y的子集）,x叫做自变量,y叫做因变量,习惯上也说y是x的函数.若先定义映射的概念,可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数.例1：y＝sinx X＝〔0,2π〕,Y＝〔－1,1〕 ,它给出了一个函数关系.当然 ,把Y改为Y1＝（a,b） ,a＜b为任意实数,仍然是一个函数关系. 其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线,这代表一个函数,定义域为〔0,b〕.以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 , 表格法和图像法. 复合函数有3个变量,y是u的函数,y＝ψ（u）,u是x的函数,u＝f（x）,往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数： x→u→y,这要看定义域：设ψ的定义域为U . f的值域为U,当U*ÍU时,称f与ψ 构成一个复合函数 , 例如 y＝lgsinx,x∈（0,π）.此时sinx＞0 ,lgsinx有意义 .但如若规定x∈（－π,0）,此时sinx＜0 ,lgsinx无意义 ,就成不了复合函数. 反函数就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y＝f（x）为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f（x）＝y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x＝f -1（y）.称f -1为f的反函数.习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y＝f -1（x） ,例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数.在同一坐标系中,y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称. 隐函数若能由函数方程 F（x,y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x）,即F（x,f（x））≡0,就称y是x的隐函数.思考：隐函数是否为函数?因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一” 多元函数设点（x1,x2,…,xn） ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点（x1,x2,…,xn）∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U,u＝f（x1,x2,…,xn）,则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域. 基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数. ①幂函数：y＝xμ（μ≠0,μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞,＋∞）,μ为负整数时是（－∞,0）∪（0,＋∞）；μ＝(α为整数),当α是奇数时为（ －∞,＋∞）,当α是偶数时为（0,＋∞）；μ＝p／q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论.略图如图2、图3. ②指数函数：y＝ax（a＞0 ,a≠1）,定义成为（ －∞,＋∞）,值域为（0 ,＋∞）,a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时,） ,0＜a＜1 时是严格单减函数.对任何a,图像均过点（0,1）,注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称.如图4. ③对数函数：y＝logax（a＞0）, 称a为底 , 定义域为（0,＋∞）,值域为（－∞,＋∞） .a＞1 时是严格单调增加的,0＜a＜1时是严格单减的.不论a为何值,对数函数的图形均过点（1,0）,对数函数与指数函数互为反函数 .如图5. 以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx .在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx. ④三角函数：见表2. 正弦函数、余弦函数如图6,图7所示. ⑤反三角函数：见表3.双曲正、余弦如图8. ⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x）,双曲余弦?（ex＋e-x）,双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ,双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）. [编辑]补充在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢）.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的. 术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思. 二次函数I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0） 则称y为x的二次函数. 二次函数表达式的右边通常为二次三项式. II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a III.二次函数的图象 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象, 可以看出,二次函数的图象是一条抛物线. IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线 x = -b/2a. 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P. 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ]. 当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上. 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小. 当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则抛物线的开口越小. 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右. 5.常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点. Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点. Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点. V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）, 即ax²+bx+c=0 此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根. 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根. 一次函数I、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b（k,b为常数,k≠0） 则称y是x的一次函数. 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数. II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即 △y/△x=k III、一次函数的图象及性质： 1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线,可以作出一次函数的图象——一条直线.因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可. 2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b. 3． k,b与函数图象所在象限. 当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大； 当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小. 当b＞0时,直线必通过一、二象限；当b＜0时,直线必通过三、四象限. 特别地,当b=O时,直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图象. 这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限；当k＜0时,直线只通过二、四象限. IV、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点A、B的一次函数的表达式. （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b. （2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程： y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②. （3）解这个二元一次方程,得到k,b的值. （4）最后得到一次函数的表达式.
初二开始学,不难.