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（2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点．

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/10/01 21:42:59
（2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点．
（1）求三棱锥E-AA1F的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点．
（1）∵正方形A1B1BA中，E为BB1的中点
∴三角形AA1E的面积S△AA1E=
1
2S正方形A1B1BA=
1
2×22=2
又∵CD∥AB，CD⊈平面A1B1BA，AB⊂平面A1B1BA，
∴CD∥平面A1B1BA，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BC⊥平面A1B1BA，
∴BC即为直线CD到平面A1B1BA的距离，即F到平面A1B1BA的距离为2，
∴三棱锥E-AA1F的体积为V=
1
3×S△AA1E×2=
4
3…（6分）
（2）连接EC，因为AB∥CD，所以∠EFC（或其补角）即为异面直线EF与AB所成角，…（9分）
∵CF⊥平面C1B1CB，EC⊂平面C1B1CB，
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中，EC=
BC2+EB2=
5，
∵Rt△EBC中，FC=
1
2CD=1，…（10分）
∴tan∠EFC=
EC
FC=
5，可得∠EFC=arctan
5…（13分）
即异面直线EF与AB所成角的大小是arctan
5．…（14分）
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