如果14个不同素数能够成为某等差数列的相继的14项.求证：其公差大于30000.比如用到了数

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 08:20:55

如果14个不同素数能够成为某等差数列的相继的14项.求证：其公差大于30000.比如用到了数
论中的哪个定理哪个重要结论?用到抽屉原理中的哪个定理.因为我不是学数学竞赛的学生,在没有学习数论和组合那本的情况下,直接学代数分册.

我先把有关的定义定理都列出来吧（像整除,互素这类小学就学了的基本概念我就不列了）.
a整除b记作a|b
定义设m是一个大于1的整数,我们把能被m整除的所有整数划成一类；把被m除后,余数是1的所有整数划成一类；……；把被m除后,余数是m-1的所有整数划成一类；这样我们就把全体整数分成为m类.如果从每一类当中各取出一个整数,则这m个整数就叫作模m的一个完全剩余系.
定理1 如果p是一个素数,则有p不整除a可得p,a互素.
定理2 如果a1,a2,...,an互素,且a1|m,a2|m,...,an|m,那么a1a2...an|m
定理3 设m是一个大于1的整数,而b,c是二个任意整数但满足条件b,m互素.如果a1,a2,...,am是模m的一个完全剩余系,则ba1+c,ba2+c,...,bam+c也是模m的一个完全剩余系.
证明：设这14个数为p,p+d,...,p+13d(d>0),
首先易知连续的m个正整数必为m的一个完全剩余系
考虑到0,1为2的一个完全剩余系,假设2不整除d,由定理1可得2与d互素,再由定理3知p+0d,p+1d即p,p+d也为2的一个完全剩余系,得到p,p+d中必有一个能被2整除,而p,p+d均为素数,于是p与p+d中必有一个为2.同理可得p+2d,p+3d中必有一个为2,这显然矛盾,于是2|d
同理可得3|d,5|d,7|d.于是由定理2知210|d, d≥210
假设11不整除d,同上可得p+d,p+2d,...,p+11d中必有一个为11,而其中最小的p+d＞d≥210 ,矛盾,于是11|d
同理13|d,故2×3×5×7×11×13|d,即30030|d,所以d≥30030＞30000

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