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（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/10 16:04:52
（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1
与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；
（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；
（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．
（2014•抚州模拟）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1
（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，
所以BB1⊥底面A1B1C1D1．
又A1C1⊂底面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1．
因为A1B1C1D1为菱形，
所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，
所以A1C1⊥平面B1BDD1．
（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．
依题意，AA1∥CC1，
且AA1=CC1，AA1⊥AC，
所以A1ACC1为矩形．
所以OC1∥AE．
又OC1＝
1
2A1C1，AE＝
1
2AC，A1C1=AC，
所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，
则AO∥C1E．
又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，
所以AO∥平面BC1D．
（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．
分析如下：连接OE，则BD⊥OE．
由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．
又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．
故M点一定在线段C1E上．
当OM⊥C1E时，OM取最小值．
在直角三角形OC1E中，OE=1，OC1＝

3
2，C1E＝

7
2，
所以OMmin＝
OC1•OE
C1E＝

21
7．
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