函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 06:06:27

函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出来不对

f(x)=1/x-1/(e^x-1)=[(e^x-1)-x]/[x(e^x-1)]
f'(x)=[(e^x-1)*x(e^x-1)-(e^x-1-x)*(e^x+xe^x-1)]/[x(e^x-1)]^2
=[(xe^2x-2xe^x+x)-((1+x)e^2x-(x^2+2x+2)e^x+1+x)]/[x(e^x-1)]^2
=[-e^2x+(x^2+2)e^x-1)]/[x(e^x-1)]^2
f'(0)=lim{[-e^2x+(x^2+2)e^x-1)]/[x(e^x-1)]^2}      x->0
=1/2lim{[-2e^2x+(x^2+2x+2)e^x]/[(x+x^2)e^2x-(2x+x^2)e^x+x)]}        洛必达法则
=1/2lim{[-4e^2x+(x^2+4x+4)e^x]/[(2x^2+4x+1)e^2x-(x^2+4x+2)e^x+1]}        洛必达法则
=1/2lim{[-8e^2x+(x^2+6x+8)e^x]/[(4x^2+12x+6)e^2x-(x^2+6x+6)e^x]}        洛必达法则
=1/2lim{[-8e^x+(x^2+6x+8)]/[(4x^2+12x+6)e^x-(x^2+6x+6)]}        约去e^x
=1/2lim{[-8e^x+(2x+6)]/[(4x^2+20x+18)e^x-(2x+6)]}        洛必达法则
=1/2*[-8+6]/[18-6]        x->0
=-1/12
PS：这道题用洛必达法则就行了,也蛮简单的,为嘛要用级数展开?
f(x)虽然在x=0处无定义,但其极限及导数却是存在的
limf(0)的值也同样可以用洛必达法则求出,而且有limf(0)左=limf(0)右=1/2
f(x)即f'(x)图像如下,只不过把x=0的那一点抠掉就行了

再问：学理科就是不一样，能画出函数的图像。那我请问一下此题不能用泰勒展开式吗？
再答：题本身肯定是可以用级数展开解答的但我本人觉得级数太复杂，每一个都有N多项所以我的级数当时学的是很差的所以我个人是不知道怎么解的你最好再求助于书本或别人

求函数f(x)=ln(1-x)在x.=1/2处的泰勒展开式两个函数的泰勒展开式求函数f(x)=(x+2)^(1/2)在x=2的泰勒展开.求函数f(x)=cos(2x)在x=pi的设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=e^x+1/e∫(0,1)f(x)dx,求f(x) 一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f( 设函数f(x)=x^a*sin(1/x)(x>0)试求a的值使f(x)在x=0处了连续 ,且当x=0时,f(x)=0 用间接展开法求下列函数在x=0处的泰勒级数 f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2] 利用泰勒公式求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的100阶导数求函数f(x)=x*e^(1+x^2)的带皮亚诺型余式的2n+1阶的泰勒公式函数幂级数展开式求 1/(1+2x) 在x=0处的展开式 f(x)连续,f(x)=e^x-x∫(0到1)f(x)dx,求∫(0到1)f(x)dx 求函数f(x)=1/x在x=-1处的二阶泰勒公式要求带拉格朗日余项求函数f(x)=ln(1+x)在x=3处幂级数展开式并指明其收敛域