已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 07:28:42
已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于-b的实根x1、x2,且x1、-b、x2成等差数列;
(Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于-b的实根x1、x2,且x1、-b、x2成等差数列;
(Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围.
(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=3x2+6bx+c
∵函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,
∴x=0是极大值点,
∴f'(0)=0,∴c=0…(2分)
(Ⅱ)证明:令f'(x)=0,得x=0或-2b
由f(x)的单调性知-2b≥2,∴b≤-1
∵-b是方程f(x)=0的一个根,则(-b)3+3b(-b)2+d=0⇒d=-2b3
∴f(x)=x3+3bx2-2b3=(x+b)(x2+2bx-2b2)…(4分)
方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4(-2b2)=12b2>0
又(-b)2+2b(-b)-2b2=-3b2≠0,
即-b不是方程x2+2bx-2b2=0的根,∴f(x)=0有不同于-b的根x1、x2.
∵x1+x2=-2b,∴x1、-b、x2成等差数列 …(8分)
(Ⅲ)根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f(0)<16⇒-2b3<16,∴b>-2,于是-2<b≤-1
令g(b)=f(1)=-2b3+3b+1
求导g'(b)=-6b2+3-2<b≤-1时,g'(b)<0,
∴g(b)在(-2,-1]上单调递减
∴g(-1)≤g(b)<g(-2)
即0≤f(1)<11…(14分)
∵函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,
∴x=0是极大值点,
∴f'(0)=0,∴c=0…(2分)
(Ⅱ)证明:令f'(x)=0,得x=0或-2b
由f(x)的单调性知-2b≥2,∴b≤-1
∵-b是方程f(x)=0的一个根,则(-b)3+3b(-b)2+d=0⇒d=-2b3
∴f(x)=x3+3bx2-2b3=(x+b)(x2+2bx-2b2)…(4分)
方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4(-2b2)=12b2>0
又(-b)2+2b(-b)-2b2=-3b2≠0,
即-b不是方程x2+2bx-2b2=0的根,∴f(x)=0有不同于-b的根x1、x2.
∵x1+x2=-2b,∴x1、-b、x2成等差数列 …(8分)
(Ⅲ)根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f(0)<16⇒-2b3<16,∴b>-2,于是-2<b≤-1
令g(b)=f(1)=-2b3+3b+1
求导g'(b)=-6b2+3-2<b≤-1时,g'(b)<0,
∴g(b)在(-2,-1]上单调递减
∴g(-1)≤g(b)<g(-2)
即0≤f(1)<11…(14分)
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上是减函数,那么b+c( )
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已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0,2)且在点M(
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点p(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=
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已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在点(0,f(0))处的切线方程为2x-y-1=0
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