求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点（-3,2,5）的直线方程.想问下交线是不是直接

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 19:31:46

求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点（-3,2,5）的直线方程.想问下交线是不是直接
想问下交线是不是直接由两平面的方程相减即可得到呢?即交线方程为x-y-z=-2?

两个平面方程相减得到的方程是过它们交线的平面方程,不是交线的方程.
有三种方法.
一、在交线上取两点.
如取 z=0 ,x=3 ,y=5 得 A（3,5,0）,再取 z=1 ,x=7 ,y=8 得 B（7,8,1）,
因此交线的方向向量为 AB=（4,3,1）,
所求直线方程为 (x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1 .
二、两方程联立,求出交线方程.
由 x-4z=3 得 (x-3)/4=z ,代入（2）得 (y-5)/3=z ,
因此交线方程为 (x-3)/4=(y-5)/3=z ,方向向量（4,3,1）,
所以所求直线方程为 (x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1 .
三、向量叉积求出交线的方向向量.
两平面的法向量分别为 n1=（1,0,-4）,n2=（2,-1,-5）,
因此它们的交线的方向向量为 v=n1×n2=（-4,-3,-1）,
所以所求直线方程为 (x+3)/(-4)=(y-2)/(-3)=(z-5)/(-1) ,化简得 (x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1 .

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