数列an前n项和为Sn,a1＝1,已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2,证明an为等差数列.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 02:02:45

证明：∵S[n]=n(a[1]＋a[n])/2
∴2S[n]=na[1]＋na[n]
∵2S[n+1]=(n+1)a[1]＋(n+1)a[n+1]
∴2S[n+1]-2S[n]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
2a[n+1]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
(n-1)a[n+1]=na[n]-a[1]
即：a[n+1]/n-a[n]/(n-1)=a[1]*{1/n-1/(n-1)}
有：a[n]/n-a[n-1]/(n-2)=a[1]*{1/(n-1)-1/(n-2)}
.
a[3]/2-a[2]/1=a[1]*{1/2-1/1}
将上述各项叠加,得：
a[n+1]/n-a[2]=a[1](1/n-1)
∴a[n+1]=na[2]+a[1]-na[1]
∴a[n]=(n-1)a[2]+a[1]-(n-1)a[1]
∴a[n+1]-a[n]=a[2]-a[1]
∴数列{a[n]}是等差数列
【其实a[1]是何值,与证明无关】

设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列. 已知数列｛an｝前n项和为Sn,对于n属于自然数,总有Sn=(a1+an)n/2,求证｛an｝为等差数列. 已知正项数列an的前n项和为Sn,a1=1,（an-2）²=8Sn-1.证明an是等差数列. 数列{an}前n项和Sn=npa[n](n是正整数),且a1不等于a2,(1)求p的值(2)证明{an}为等差数列设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列.请按照我的思路来做. 数列An的前n项和为Sn,已知A1=1,An+1=Sn*(n+2)/n,证明数列Sn/n是等比数列已知等差数列an的首项a1为a,设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有a2n/an=4n-1/2n-1,求数列的通已知数列前n项和Sn=n(a1+an)/2,如何证明该数列为等差数列设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列, 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈正整数) 已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且1,an,Sn等差数列