大师作文网用数学归纳法证明：1/2+1/2的平方+...+1/2的n次方小于1
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/20 10:29:26
用数学归纳法证明：1/2+1/2的平方+...+1/2的n次方小于1
只需证明1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n = 1-1/2^n即可
证明,n=1时,左=1/2,右=1/2成立
设n=k成立
那么n=k+1时有
1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(k+1)=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^k + 1/2^(k+1)
=1-1/2^k + 1/2^(k+1) (由于归纳假设n=k时成立)
=1 - 1/2^(k+1)
对n=k+1也成立
综上对任意n∈N+都成立
所以1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n = 1-1/2^n < 1
证明,n=1时,左=1/2,右=1/2成立
设n=k成立
那么n=k+1时有
1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(k+1)=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^k + 1/2^(k+1)
=1-1/2^k + 1/2^(k+1) (由于归纳假设n=k时成立)
=1 - 1/2^(k+1)
对n=k+1也成立
综上对任意n∈N+都成立
所以1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n = 1-1/2^n < 1
数学归纳法证明 < {（n+1）/2 }的n 次方
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