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如何证明偶数位的回文数都可以被11整除?

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 21:33:49
如何证明偶数位的回文数都可以被11整除?
如 22,2442,123321,等 偶数位的回文数都可以被11整除,
如何证明偶数位的回文数都可以被11整除?
先设出一般形式:an...a2a1a1a2...an.
然后可将其改写(首尾两两依次配对):
an...a2a1a1a2...an=an*(10^(2n-1)+1)+...+a2*(10^(2*2-1)+1)*10^(n-2)+a1*(10^(2*1-1)+1)*10^(n-1)
可以看到求和的每一项均有因式10^(2k-1)+1,而该因式又含有因式10+1=11,故和是11的倍数.
注意:
x^(2n+1)+y^(2n+1)=(x+y)(x^(2n)-x^(2n-1)*y+x^(2n-2)*y^2-...-x*y^(2n-1)+y^2n)