请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 16:00:23

请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”?
如何理解矩阵的秩和向量组的秩的关系,烦请老师详细点拨下.

都是大姨妈的回答,看你大表叔我的~
首先为了帮助你明白,你先要弄清楚2个定义：
矩阵的秩的定义：存在K阶子式不为0,对任意K+1阶子式均为0,则k即为矩阵的秩.
向量组的秩的定义：向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量组的秩.
其次再弄清楚3个定理：
1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行(列)向量线性无关
2,无关组加分量仍无关
3, r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0
好了,简略证明过程开始,我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”.假设n阶矩阵的秩为r,其列向量组的秩为s.（我们的目标：就是证明r=s）
一方面,矩阵的秩为r,即为其有K阶子式不为0(矩阵秩的定义),则该K阶子式的列向量线性无关(定理1),则其k阶子式所在矩阵的列向量必线性无关(定理2),则由向量组的秩的定义可知r≤s.
另一方面,列向量组的秩为s,由定理3知,必有一个s阶子式不为0,故由矩阵的秩的定义可知s≤r.
联立即得,r=s!
同理可证,矩阵的秩等于行向量组的秩!
完全原创,码字辛苦,楼主不明白可追问,明白请采纳!

请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”? 凡行向量组线性相关的矩阵,它的列向量组也线性相关? n阶矩阵的秩等于n,它的行向量组相不相关为什么矩阵可逆,它的行向量组就线性无关,列向量组也线性无关? 为什么可以写成行向量乘列向量的矩阵秩就小于等于1啊? 为什么个矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组表示时,那么A的秩就小于等于B的秩? 矩阵的秩等于1为何能分解为列向量与行向量乘积初等列变换不改变矩阵的秩,矩阵的秩等于向量组的秩,那是不是列变换不改变向量组的线性相关性向量组线性无关的充要条件是向量组所含向量的个数等于它的秩, 已知4×3矩阵A的列向量组线性无关,则A转置矩阵秩等于多少为什么向量组的秩等于向量组个数时向量组就线性无关? 怎么判断正交矩阵正交矩阵的充分必要条件：它的列向量组为标准正交向量组,