设函数f（x）=（2x+a）/（x²+1）,函数g（x）=（2/3）x³+ax²-2x均在

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 09:33:21

设函数f（x）=（2x+a）/（x²+1）,函数g（x）=（2/3）x³+ax²-2x均在x=m和x=n处取得极值,
（1）求f（m）·f（n）的值；
（2）求证：f（x）在区间【m,n】上是增函数；
（3）设f（x）在区间【m,n】上的最大值和最小值分别为M和N,试问当实数a为何值时,M-N取得最小值,并求出这个最小值.

(1)
对f(x)和g(x)求导得：
f'(x) = (-2x² - 2ax + 2)/(x² + 1)²
g'(x) = 2x² + 2ax - 2
因为两个函数均在x = m 与 x = n处取得极值,通过观察其导函数的特征可得：
x = m 与 x = n 为方程 2x² + 2ax - 2 = 0 的两个不相等的实根
因此：
m + n = -a
mn = -1
进而求得：m² + n² = a² + 2 m²n² = 1
所以f（m）·f（n） = (4mn + 2a(m + n) + a²)/(m²n² + m² +n² + 1)
= (-4-a²)/(4+a²) = -1
(2)
由f(x)导函数可得,对于任意的x属于（m,n）,-2x² - 2ax + 2为抛物线开口向下,所以其值大于零,所以f'(x)>0,所以f（x）在区间【m,n】上是增函数
(3)
因为f(x)在m,n两点连续,且在（m,n）单调递增,所以
M = f(n),N = f(m)
M - N = f(n) - f(m) = (m - n)[2mn - 2 + a(m+n)]/(m²n² + m² +n² + 1) = n - m
= √[(m + n)² - 4mn ] = √(a² + 4)
当a = 0 时,M - N 最小,其最小值为2

已知函数f(x)=ax²-2根号4+2b-b²x,g(x)=-根号1-（x-a）²,(a. 已知函数f（x）=-x²+2ex+m,g(x)=x+e²/x(x>0) 导数的四则运算法则已知函数f(x)=1/3x³-2x²+ax （x∈R,a∈R）在曲线y=f(x)的函数f(x)=ax²-2ax+1,(x≤-1) f(x)=(a-1)x +4a,(x＞-1)在（-∞,+∞）内高数题函数f（x）=（x²-x-2）|x³-x| 不可导点的个数是多少已知函数f（x）的图像与函数h（x）=1/3x³+x²+2的图像关于点A（0,1)对称. 已知函数f(x)=x²－2ax＋5(a＞1）已知函数f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0,x∈R）为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2 问一题高中函数数学题已知函数f（x)=x²-2ax+5（a＞1）若f(x)在区间（-∞.2】上时减函数且设函数f(x)=3/ax³-2/3x²+﹙a+1﹚x+1,其中a为实数,(Ⅰ)f(x)在x=1处取得已知函数f(x)=x²+ax²+b,g(x)=x²+cx+d,且f(2x+1)=4g(X) 设函数y=ax³+bx²+cx+2在x=0处取得极值,且图形上上有拐点（-1,4）求a.b