大师作文网求∫(tanx)^4(secx)^5dx 的不定积分
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 21:32:27
求∫(tanx)^4(secx)^5dx 的不定积分
额...楼上的好像看错了吧...拆开以后全都是奇数次方...
∫(tanx)^4(secx)^5dx
=∫(sinx)^4(cosx)^(-9)dx
=-∫(sinx)^3(cosx)^(-9)d(cosx)
=1/8∫(sinx)^3d[(cosx)^(-8)]
=1/8[(sinx)^3(cosx)^(-8)-3∫(sinx)^2(cosx)^(-7)dx]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16∫sinxd[(cosx)^(-6)]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]
下面来求∫(cosx)^(-5)dx,设I(n)=∫(cosx)^(-n)dx(n为下标)
则I(n)=∫(cosx)^(2-n)dtanx
=tanx(cosx)^(2-n)-∫(2-n)(cosx)^(1-n)(-sinx)tanxdx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)∫[1-(cosx)^2](cosx)^(-n)dx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)(I(n)-I(n-2))
所以I(n)=[tanx(cosx)^(2-n)+(n-2)I(n-2)]/(n-1)
所以∫(cosx)^(-5)dx=I(5)=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4I(3)
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4[tanx(cosx)^(-1)+I(1)]/2
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/8I(1)
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
所以∫(tanx)^4(secx)^5dx
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/16{1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]}
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/64tanx(cosx)^(-3)+3/128tanx(cosx)^(-1)+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
把格式修改一下
∫(tanx)^4(secx)^5dx=1/8(sinx)^3(secx)^8-1/16sinx(secx)^6+1/64sinx(secx)^4+3/128sinx(secx)^2+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
(本答案经过数学软件Mathematica检验无误)
∫(tanx)^4(secx)^5dx
=∫(sinx)^4(cosx)^(-9)dx
=-∫(sinx)^3(cosx)^(-9)d(cosx)
=1/8∫(sinx)^3d[(cosx)^(-8)]
=1/8[(sinx)^3(cosx)^(-8)-3∫(sinx)^2(cosx)^(-7)dx]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16∫sinxd[(cosx)^(-6)]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]
下面来求∫(cosx)^(-5)dx,设I(n)=∫(cosx)^(-n)dx(n为下标)
则I(n)=∫(cosx)^(2-n)dtanx
=tanx(cosx)^(2-n)-∫(2-n)(cosx)^(1-n)(-sinx)tanxdx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)∫[1-(cosx)^2](cosx)^(-n)dx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)(I(n)-I(n-2))
所以I(n)=[tanx(cosx)^(2-n)+(n-2)I(n-2)]/(n-1)
所以∫(cosx)^(-5)dx=I(5)=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4I(3)
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4[tanx(cosx)^(-1)+I(1)]/2
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/8I(1)
=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
所以∫(tanx)^4(secx)^5dx
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/16{1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]}
=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/64tanx(cosx)^(-3)+3/128tanx(cosx)^(-1)+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
把格式修改一下
∫(tanx)^4(secx)^5dx=1/8(sinx)^3(secx)^8-1/16sinx(secx)^6+1/64sinx(secx)^4+3/128sinx(secx)^2+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]
(本答案经过数学软件Mathematica检验无误)