大师作文网一道概率分布题（中精 第10题）设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P（λ）,二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 18:28:55
一道概率分布题
（中精 第10题）
设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P（λ）,二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分布.
（中精 第10题）
设一昆虫所产生的虫卵服从泊松分布P（λ）,二每个虫卵发育成幼虫的概率为p,且每个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫所生产的幼虫数Y的概率分布.
可以用定义证明
泊松分布的由来：
设所观察的时间段为[0,1)
取一个很大的自然数n把时间段分为等长的n段
做几个假定:
1)在每段内,恰发生一个事件的概率,近似地与这段时间长度成正比.即可取为λ/n.又假定n很大而1/n很小时,在这么短暂的一段时间内,要发生两次或更多次是不可能的.因此在这段不发生事件的概率为(1-λ/n).
2)各段事件是否发生是独立的.
把[0,1)时段内发生的事件数Y视作在n个小时段内有事件的时段数,则按1),2)两条假定,Y应服从二项分布B(n,λ/n).
于是
P(Y=k)=C(n,k)(λ/n)^(k)*(1-λ/n)^(n-k) C(n,k)表示n里取k个的组合数
n趋于无穷大时,C(n,k)/(n^(k))趋近于1/k!;
(1-λ/n)^(n)趋近于e^(-λ)
所以,P(λ)=e^(-λ)*λ^(k)/k!
而每个虫卵发育成幼虫的概率为p,所以每个小段出现事件的概率变为λp;
所以此时
P(Y=k)=e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
当你对泊松分布足够了解的时候,可以直接用
λ’=λp
P(Y=k)=P(λ‘)=(e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
来证明
再问： 而每个虫卵发育成幼虫的概率为p,所以每个小段出现事件的概率变为λp， 把λ/n换成λp以后，P(Y=k)=e^(-λp)*(λp)^(k)/k!这一步是怎么推出来的？ P(Y=k)=C(n,k)(1-λp)^k(1-λp)^(n-k)是这样的吧？ 后面的(1-λp)^(n-k)不含n，怎么取极限？ 谢谢~
再答： 哦，对不起，是我少打了。把λ换成λp。λ/n换成λp/n.
泊松分布的由来：
设所观察的时间段为[0,1)
取一个很大的自然数n把时间段分为等长的n段
做几个假定:
1)在每段内,恰发生一个事件的概率,近似地与这段时间长度成正比.即可取为λ/n.又假定n很大而1/n很小时,在这么短暂的一段时间内,要发生两次或更多次是不可能的.因此在这段不发生事件的概率为(1-λ/n).
2)各段事件是否发生是独立的.
把[0,1)时段内发生的事件数Y视作在n个小时段内有事件的时段数,则按1),2)两条假定,Y应服从二项分布B(n,λ/n).
于是
P(Y=k)=C(n,k)(λ/n)^(k)*(1-λ/n)^(n-k) C(n,k)表示n里取k个的组合数
n趋于无穷大时,C(n,k)/(n^(k))趋近于1/k!;
(1-λ/n)^(n)趋近于e^(-λ)
所以,P(λ)=e^(-λ)*λ^(k)/k!
而每个虫卵发育成幼虫的概率为p,所以每个小段出现事件的概率变为λp;
所以此时
P(Y=k)=e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
当你对泊松分布足够了解的时候,可以直接用
λ’=λp
P(Y=k)=P(λ‘)=(e^(-λp)*(λp)^(k)/k!
来证明
再问： 而每个虫卵发育成幼虫的概率为p,所以每个小段出现事件的概率变为λp， 把λ/n换成λp以后，P(Y=k)=e^(-λp)*(λp)^(k)/k!这一步是怎么推出来的？ P(Y=k)=C(n,k)(1-λp)^k(1-λp)^(n-k)是这样的吧？ 后面的(1-λp)^(n-k)不含n，怎么取极限？ 谢谢~
再答： 哦，对不起，是我少打了。把λ换成λp。λ/n换成λp/n.
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