判断正项级数（1-cos1/n）收敛还是发散,用比较原则判断

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/23 13:27:28

判断正项级数（1-cos1/n）收敛还是发散,用比较原则判断
还有判断级数a^(1/n)-1收敛还是发散a>1，要过程

有两个基本极限:lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2,lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).
可知n → ∞时0 ≤ 1-cos(1/n)与1/n²是同阶无穷小.
根据比较判别法,由∑1/n²收敛,知∑(1-cos(1/n))收敛.
而n → ∞时0 ≤ a^(1/n)-1与1/n是同阶无穷小.
根据比较判别法,由∑1/n发散,知∑a^(1/n)-1发散.
再问：这两个 lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).没听说过
再答：这两个其实都算是基本极限了, 证法有很多. 从基础证起的话: 前者(1-cos(x))/x² = 2sin²(x/2)/x², 然后对t = x/2由lim{t → 0} sin(t)/t = 1即得. 后者对t = a^x-1, 有x = ln(1+t)/ln(a), 于是由lim{t → 0} t/ln(1+t) = lim{t → 0} 1/ln((1+t)^(1/t)) = 1即得. 如果不愿这个费功夫, 二者都可以用洛必达(L'Hospital)法则. 或者用Taylor展开cos(x) = 1-x²/2+o(x²), a^x = e^(xln(a)) = 1+xln(a)+o(x). 注: 严格来说指数函数求导公式一般是基于后面这个极限来证明的, 因此用洛必达法则在逻辑上有循环论证的嫌疑. 从这里也能看出这个极限是很基本的, 建议掌握.

判别级数∞∑n=1（-1）^n(1-cos1/n)是绝对收敛、条件收敛还是发散判断级数收敛发散判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散（下边 n=1 上边是无穷）∑(-1）^n* ln n/(n^p) 判断级数∑(n=1)(-1)^n/(n+根号n)是绝对收敛,条件收敛还是发散此级数收敛还是发散?用什么方法判断? 判断级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散判断下列级数是绝对收敛条件收敛还是发散判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散判断级数收敛或者发散 1.判断级数n^(n+1)/(n+1)!是绝对收敛还是条件收敛还是发散?2.另外,极限∞^∞型怎么判断? 高数题,关于级数收敛的,判断级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散. 级数1/（n+1）收敛还是发散?为什么? 下面的级数怎么判断收敛还是发散