大师作文网求不大于60,且只有10个约数的正整数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 20:27:47
求不大于60,且只有10个约数的正整数
你要先理解一个数的约数个数怎么算.
把一个数N分解质因数,N = M^A * N^B * K^C *……
其中M、N、K是互不相等的质因数,A、B、C是它的幂次.
那么对N来说,它的约数个数 = (A + 1)*(B + 1)*(C + 1)* ……
个数就是等于各不同质因数幂次多1的连乘积.
简单理解就是,有A个标M的球、B个标N的球、C个标K的球,放在一个袋子里,
从袋里拿出0个、1个、2个……直至全部,一共有多少种不同拿法.
显然拿M球有0、1、2……、A这A+1种拿法,其他球同理,总取法就是连乘积.
所有这些种类的拿法,取出的球,上面标的数字的连乘积,都是N的因数.
回到题目,有10个约数的正整数N,因
10
= 10*1 = (9 + 1)* (0 + 1)
= 5*2 = (4 + 1) * (1 + 1)
则N的形式必然只能为N = A^9 【A是质数】 或N = A^4 * B^1 【A、B是质数】.
对N = A^9,最小有A = 2 ,N = 2^9 = 512 不符题意
对N = A^4 * B^1,最小有A = 2、B = 3,N = 2^4 *3^1 = 48 符合,
次小A = 2、B = 5,N = 2^4 *5^1 = 80 不符……其余的AB均超过这个60.
综上,所求正整数仅可能为48.
把一个数N分解质因数,N = M^A * N^B * K^C *……
其中M、N、K是互不相等的质因数,A、B、C是它的幂次.
那么对N来说,它的约数个数 = (A + 1)*(B + 1)*(C + 1)* ……
个数就是等于各不同质因数幂次多1的连乘积.
简单理解就是,有A个标M的球、B个标N的球、C个标K的球,放在一个袋子里,
从袋里拿出0个、1个、2个……直至全部,一共有多少种不同拿法.
显然拿M球有0、1、2……、A这A+1种拿法,其他球同理,总取法就是连乘积.
所有这些种类的拿法,取出的球,上面标的数字的连乘积,都是N的因数.
回到题目,有10个约数的正整数N,因
10
= 10*1 = (9 + 1)* (0 + 1)
= 5*2 = (4 + 1) * (1 + 1)
则N的形式必然只能为N = A^9 【A是质数】 或N = A^4 * B^1 【A、B是质数】.
对N = A^9,最小有A = 2 ,N = 2^9 = 512 不符题意
对N = A^4 * B^1,最小有A = 2、B = 3,N = 2^4 *3^1 = 48 符合,
次小A = 2、B = 5,N = 2^4 *5^1 = 80 不符……其余的AB均超过这个60.
综上,所求正整数仅可能为48.