大师作文网关于皮亚诺公理的疑问度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：Ⅰ 0是自然数；Ⅱ 每
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/20 15:30:58
关于皮亚诺公理的疑问
度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数（数a的后继数a‘就是紧接在这个数后面的整数（a+1）.例如,1‘=2,2’=3等等.）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1 构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条.
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c；
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S,那么n'∈S.则S是全体自然数的集合,即S=N.(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件.
若将只考虑正整数,则公理中的0要换成1,自然数要换成正整数.
我对Ⅴ 有疑问,因为我觉得它并不能排除0.3等自然数中不应该出现的数
度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数（数a的后继数a‘就是紧接在这个数后面的整数（a+1）.例如,1‘=2,2’=3等等.）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1 构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条.
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c；
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S,那么n'∈S.则S是全体自然数的集合,即S=N.(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件.
若将只考虑正整数,则公理中的0要换成1,自然数要换成正整数.
我对Ⅴ 有疑问,因为我觉得它并不能排除0.3等自然数中不应该出现的数
郭敦顒回答：
“数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.”
3的后继是4,与“0不是任何自然数的后继数；”无关.
你再自检一下个人的思路.
再问： 我知道，我是想问V为什么就可以为了排除一些自然数中不应存在的数
再答： 郭敦顒继续回答：
卡尔·亨佩尔在其论文《论数学真理的本性》中介绍了作为数学基础的皮亚诺的公理系统——
现在考察一个公设系统，从它可以导出自然数的整个算术．这个系统是由意大利数学家和逻辑学家皮亚诺(1858—1932)设计的．…术语“数” 则专指自然数0,1,2,3…．自然数n的后继有时简称n′,它用来指按自然顺序紧跟n的那个自然数．皮亚诺系统包含下列五个公设：
P⒈ 0是一个数．
P⒉ 任何数的后继是一个数．
P⒊ 不存在有同一后继的两个数．
P⒋ 0不是任何数的后继．
P⒌ 如果P是一个性质，使(a)0具有性质P，(b)当一个数n具有性质P时，
n的后继也具有性质P，那么每一个数都具有性质P．
在你的提问中，提到“如果b、c的后继数都是自然数a，那么b = c”
“b、c的后继数都是自然数a”违背了“P⒊ 不存在有同一后继的两个数”的公设，所以，你还是“再自检一下个人的思路”为好。
再问： 我就是不懂才问嘛，请说话温柔些可以吗
再答： 郭敦顒继续回答：
其实，我很注意自己说话的口气，以后说话会更温柔些。能帮助你我感到高兴，也谢谢你的采纳！
“数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.”
3的后继是4,与“0不是任何自然数的后继数；”无关.
你再自检一下个人的思路.
再问： 我知道，我是想问V为什么就可以为了排除一些自然数中不应存在的数
再答： 郭敦顒继续回答：
卡尔·亨佩尔在其论文《论数学真理的本性》中介绍了作为数学基础的皮亚诺的公理系统——
现在考察一个公设系统，从它可以导出自然数的整个算术．这个系统是由意大利数学家和逻辑学家皮亚诺(1858—1932)设计的．…术语“数” 则专指自然数0,1,2,3…．自然数n的后继有时简称n′,它用来指按自然顺序紧跟n的那个自然数．皮亚诺系统包含下列五个公设：
P⒈ 0是一个数．
P⒉ 任何数的后继是一个数．
P⒊ 不存在有同一后继的两个数．
P⒋ 0不是任何数的后继．
P⒌ 如果P是一个性质，使(a)0具有性质P，(b)当一个数n具有性质P时，
n的后继也具有性质P，那么每一个数都具有性质P．
在你的提问中，提到“如果b、c的后继数都是自然数a，那么b = c”
“b、c的后继数都是自然数a”违背了“P⒊ 不存在有同一后继的两个数”的公设，所以，你还是“再自检一下个人的思路”为好。
再问： 我就是不懂才问嘛，请说话温柔些可以吗
再答： 郭敦顒继续回答：
其实，我很注意自己说话的口气，以后说话会更温柔些。能帮助你我感到高兴，也谢谢你的采纳！