大师作文网几个高二不等式证明题目
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 15:47:24
几个高二不等式证明题目
1.a,b,c属于R+,证abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
2.a,b,c属于R+,证a方/b+b方/c+c方/a>=a+b+c
3.a,b,c属于R+,证2a/(b+c)+2b/(c+a)+2c/(a+b)>=3
1.a,b,c属于R+,证abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
2.a,b,c属于R+,证a方/b+b方/c+c方/a>=a+b+c
3.a,b,c属于R+,证2a/(b+c)+2b/(c+a)+2c/(a+b)>=3
1.
a²=(((a+b-c)+(a+c-b))/2)²≥(a+b-c)(a+c-b)
同理,
b²=(((a+b-c)+(b+c-a))/2)²≥(a+b-c)(b+c-a)
c²=(((a+c-b)+(b+c-a))/2)²≥(a+c-b)(b+c-a)
所以
a²b²c²≥(a+b-c)²(a+c-b)²(b+c-a)²
所以
abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
2.
a²/b+b≥2a
b²/c+c≥2b
c²/a+a≥2c
相加即得结论
3.
由于对称性,不妨设a是三个数中最大的,即a≥b,a≥c
并记x=b/a,y=c/a,且有x,y≤1
2a/(b+c)+2b/(c+a)+2c/(a+b)
=2/(b/a+c/a)+2/(c/b+a/b)+2/(a/c+b/c)
=2/(x+y)+2(y/x+1/x)+2/(1/y+x/y)
=(2+2x+2y)/(x+y)
=2+2/(x+y)
≥3 ( x+y≤2,2/(x+y)≥1 ）
a²=(((a+b-c)+(a+c-b))/2)²≥(a+b-c)(a+c-b)
同理,
b²=(((a+b-c)+(b+c-a))/2)²≥(a+b-c)(b+c-a)
c²=(((a+c-b)+(b+c-a))/2)²≥(a+c-b)(b+c-a)
所以
a²b²c²≥(a+b-c)²(a+c-b)²(b+c-a)²
所以
abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
2.
a²/b+b≥2a
b²/c+c≥2b
c²/a+a≥2c
相加即得结论
3.
由于对称性,不妨设a是三个数中最大的,即a≥b,a≥c
并记x=b/a,y=c/a,且有x,y≤1
2a/(b+c)+2b/(c+a)+2c/(a+b)
=2/(b/a+c/a)+2/(c/b+a/b)+2/(a/c+b/c)
=2/(x+y)+2(y/x+1/x)+2/(1/y+x/y)
=(2+2x+2y)/(x+y)
=2+2/(x+y)
≥3 ( x+y≤2,2/(x+y)≥1 ）