计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0,和z=2之间部分下

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 11:28:38

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0,和z=2之间部分下侧
不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做,就直接按第二类曲面积分算下,

本题最简单的方法是高斯公式
补Σ1：z=2,x²+y²≤4,上侧
则两曲面加起来为封闭曲面,由Gauss公式
∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫ (1-1)dxdydz=0
因此原积分与Σ1上的积分互为相反数
原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy 积分曲面为Σ1：z=2,x²+y²≤4上侧
=-∫∫ -2 dxdy
=2∫∫ 1 dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积：π*2²
=8π
再问：麻烦就用第二类曲面积分算下嘛，我老是算不出来
再答：其实做数学题应该是用合适的方法做适合的题，第二类曲面积分的主要方法是高斯公式，原始算法只是个次要方法，一般来说，平面的题会用它算就够了。先算：-∫∫ z dxdy，将曲面投影到xoy面，下侧取负，投影区域为：x²+y²≤4 -∫∫ z dxdy =(1/2)∫∫ (x²+y²) dxdy =(1/2)∫∫ r²r drdθ =(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³ dr =(1/2)(2π)(1/4)r⁴ |[0→2] =4π 再算∫∫(z²+x)dydz，将曲面以yoz面为分界线，分为两部分，前部分叫Σ1，后一部分叫Σ2 先计算Σ1上积分，前侧取正，曲面方程为：x=√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围 ∫∫(z²+x)dydz =∫∫(z²+√(2z-y²))dydz 先积z =∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²+√(2z-y²))dz =∫[-2→2] [(1/3)z³+(1/2)(2/3)(2z-y²)^(3/2) |[(1/2)y²→2] dy =∫[-2→2] [-(1/24)y⁶+8/3+(1/3)(4-y²)^(3/2)] dy =64/7+2π 先计算Σ2上积分，后侧取负，曲面方程为：x=-√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围 ∫∫(z²+x)dydz =-∫∫(z²-√(2z-y²))dydz =-∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²-√(2z-y²))dz =-64/7+2π 综上最后结果为：4π+(64/7+2π)+(-64/7+2π)=8π 真的没必要会这种方法，太麻烦了。

计算第二型曲面积分∫∫(x^3+e^ysinz)dydz-3x^2ydzdx+zdxdy,其中S是下半球面z=-根号里1 计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 计算曲面积分∫∫∑ z^2 dS其中 ∑为柱面x^2+y^2=4 介于0≤z≤6的部分第二型曲面积分计算曲面积分∫∫xdxdy+ydxdz+zdxdy,∑是z=（x^2+y^2)^1/2在z=0和z=h之曲面积分 ∫∫(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy,∑为Z=1-x^2-y^2位于侧面计算对面积的曲面积分zds 圆柱面x^2+y^2=1介于平面z=0 和z=3之间的部分计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与计算曲面积分∫∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中S是介于平面z=0及z=H之间的圆柱面x^2+y^2=R^2.( 求解一道考研题高数一关于对坐标求曲面积分,I=被积函数{（2x+z）dydz+zdxdy},其中S为有向曲面z=x^2+ 用高斯公式计算曲面积分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2) 计算曲面积分I=∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy,积分区域为∑,∑是曲面z=1-x^2- 高数题设曲面∑为柱面x^2+y^2=1介于平面z=-2与z=2之间的部分,则曲面积分∫∫(∑)(x^2+yz+y^2)d