椭圆定点,向量积为定值的问题
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 02:32:04
椭圆定点,向量积为定值的问题
过平面内一定点L(m,n)作一直线y=kx+b交椭圆X^2/A+Y^2/B=1于两点P,Q,那么在平面内是否有一点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值?该定值为多少?T点坐标多少?
补充:我认为存在这样一个点,因为当L在X轴上和Y轴上时这个结论都成立,而且我成功证明了,但是我不知道当L不在X、Y轴上该点是否存在.求大神证明,㊣好加分.
过平面内一定点L(m,n)作一直线y=kx+b交椭圆X^2/A+Y^2/B=1于两点P,Q,那么在平面内是否有一点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值?该定值为多少?T点坐标多少?
补充:我认为存在这样一个点,因为当L在X轴上和Y轴上时这个结论都成立,而且我成功证明了,但是我不知道当L不在X、Y轴上该点是否存在.求大神证明,㊣好加分.
郭敦顒回答:
不用把问题说得那么复杂,只需说平面内有两点P(x1,y1),Q(x2,y2),
那么在平面内是否有一点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值d?
所说TP,TQ的向量积为标积(也叫点积),按定义,
向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,θ为TP与TQ的夹角,
TP×TQ×cosθ=d为定值.
应有Rt⊿TPQ,∠TPQ=90°,斜边TQ=C,直角边TP=a,PQ=b,则
∠QTP=θ,cosθ=a/C
TP×TQ×cosθ= aC×a/C=a²,
∴a²=d,a=√d,C=√(a²+b²),
∴在平面内存在点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值d,d的取值范围是(0,∞),
但点T(t,r)非唯一,而是4点:A(t1,r1),B(t2,r2),C(t3,r3),D(t4,r4),
作PQ的垂线AB,CD,AB的中点为P,CD的中点为Q.点A、B、C、D的坐标值可求.
再问: 大致明白了,两个问题 1.为什么向量积是定值了,TPQ就是直角三角形了? 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来?或者说,t,r如何用已知符号表达?
再答: 郭敦顒继续回答: 1为什么向量积是定值了,TPQ就是直角三角形了? 按定义,向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,且θ为TP与TQ的夹角, TP×TQ×cosθ=d为定值。即有Rt⊿TPQ,使得a²=d。注意,定值关系的最简表达式就是a²=d,可以这样说:有“a²=d”必有“Rt⊿TPQ”。 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来?或者说,t,r如何用已知符号表达? 这问题就是进行换元的问题。具体而言就涉及到了直线方程和椭圆方程中的m、n、k、b、A、B的6个元,用这些符号表达t和r,在理论上没什么困难,而实际操作上又很繁琐,就交给出这题的人去解吧。
不用把问题说得那么复杂,只需说平面内有两点P(x1,y1),Q(x2,y2),
那么在平面内是否有一点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值d?
所说TP,TQ的向量积为标积(也叫点积),按定义,
向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,θ为TP与TQ的夹角,
TP×TQ×cosθ=d为定值.
应有Rt⊿TPQ,∠TPQ=90°,斜边TQ=C,直角边TP=a,PQ=b,则
∠QTP=θ,cosθ=a/C
TP×TQ×cosθ= aC×a/C=a²,
∴a²=d,a=√d,C=√(a²+b²),
∴在平面内存在点T(t,r)使得TP,TQ向量积为定值d,d的取值范围是(0,∞),
但点T(t,r)非唯一,而是4点:A(t1,r1),B(t2,r2),C(t3,r3),D(t4,r4),
作PQ的垂线AB,CD,AB的中点为P,CD的中点为Q.点A、B、C、D的坐标值可求.
再问: 大致明白了,两个问题 1.为什么向量积是定值了,TPQ就是直角三角形了? 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来?或者说,t,r如何用已知符号表达?
再答: 郭敦顒继续回答: 1为什么向量积是定值了,TPQ就是直角三角形了? 按定义,向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,且θ为TP与TQ的夹角, TP×TQ×cosθ=d为定值。即有Rt⊿TPQ,使得a²=d。注意,定值关系的最简表达式就是a²=d,可以这样说:有“a²=d”必有“Rt⊿TPQ”。 2.这些点用我题目所给的符号如何表示出来?或者说,t,r如何用已知符号表达? 这问题就是进行换元的问题。具体而言就涉及到了直线方程和椭圆方程中的m、n、k、b、A、B的6个元,用这些符号表达t和r,在理论上没什么困难,而实际操作上又很繁琐,就交给出这题的人去解吧。
平面内与两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆对吗?
为什么椭圆上的任意一个点到两个定点的距离和为一个定值
椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+
(2007•长宁区一模)平面内“一个动点到两个定点距离之和为定值”是“动点轨迹为椭圆”的( )
圆锥曲线中的定点定值问题
椭圆定义中到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹,该如何理解?
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹
三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M到两定点F1(-2,0)F2(2
关于数学椭圆准线点M到两焦点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆还是点M到定点和定直线的距离比为定值的点的轨迹是椭圆这两个哪
续关于数学椭圆准线1.点M到两焦点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆2.点M到定点和定直线的距离比为定值的点的轨迹是椭圆刚
求一道数学题一抛物线Y的平方等于2PX ,一定直线过焦点,交抛物线于A,B,存在定点P能使向量PA乘向量PB为定值,写出
高中数学 椭圆和向量的问题 急!