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四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/18 22:09:34
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切,则此四棱锥的体积为______.
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切
由已知,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,球的球心O在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图:
其中PE,PF是斜高,A为球面与侧面的切点.
设PH=h,由几何体可知,RT△PAO∽RT△PHF,∴
OA
FH=
PO
PF,即
1
3=
h−1

h2+32,解得h=
9
4
∴此四棱锥的体积V=
1
3Sh=
1
3×62×
9
4=27
故答案为:27