使一元二次方程x²＋3x＋m=0有整数根的非负整数m的个数

使一元二次方程x²＋3x＋m=0有整数根的非负整数m的个数

【例1】m是非负整数,且关于x的一元二次方程
(1－m2)x2+2(1－m)x－1=0有两个实数根,求m的值及对应方程的根.
分析：本题关键是求m的值.因已指明此方程是一元二次方程,所以
二次项系数不等于零(1－m2≠0),在此前提下,因方程有两个实数根,所
以△≥0.再结合m为非负整数,从而求出m的值,把m值代入原方程进而求
出方程的解.
给你举个例子,下面的自己求吧.
∵ 方程是一元二次方程,且有两个实数根,
∴1－m2 ≠0且△=4(1－m)2+4(1－m2)≥0
∴ m≠±1且 m≤1
又∵m为非负整数,
∴m=0
把m=0代入原方程,原方程变为：
x2+2x－1=0
∴ x=－1±√￣
答：（略）
【例2】试判断关于x的方程(m－1)x2+2mx+m+3=0的根的情况.
分析：有些同学对此题不求甚解,看到是关于判断根的情况,就立即
求△的值,实际上本方程虽是一元二次方程的形式,但并未指明一定是一
个一元二次方程,所以还应对方程的属性（即二次项系数）进行讨论.
(ⅰ)当m－1=0,即m=1时,方程变为：
2x+4=0 ,∴x=－2
(ⅱ) 当m－1≠0时,方程是一元二次方程,
△=(2m)2－4(m－1)(m+3)=4(3－2m),
此时分以下三种情况讨论：
①当△＞0,即4(3－2m)＞0时,m＜2/3,
即m＜2/3时,方程有两个不相等的实数根；
②当m=2/3时,方程有两个相等的实数根；
③当m＞2/3时,方程没有实数根.
比较例1和例2,例1指明了方程是一元二次方程,所以二次项系数
1－m2≠0,在此条件下可以直接利用根的判别式去判定根的情况,而例2虽
是一元二次方程的形式,但并未指明是一元二次方程,一定要针对m取值
分情况讨论.
【例3】已知关于x的二次三项式mx2－2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能
分解因式,试判断方程(m－5)x2－2(m+2)x+m=0根的情况.
分析：因已指明mx2－2(m+2)x+(m+5)是二次三项式,所以二次项系数m
≠0,又因在实数范围内不能分解因式,所以其相应的一元二次方程mx2－2
(m+2)x+(m+5)=0无实数根,求出m的取值范围,在此取值范围下,再分情况
讨论后面方程根的情况.
∵ mx2－2(m+2)x+(m+5)是二次三项式,
∴m≠0
又∵在实数范围内不能分解因式,
∴mx2－2(m+2)x+(m+5)=0无实数根,
∴△1=4(m+2)2－4m(m+5)=16－4m＜0
∴m＞4
当m＞4时,对于方程(m－5)x2－2(m+2)x+m=0来说,
①若m=5,则方程变形为一个一元一次方程：－14x+5=0,x=5/14
此时方程只有一个实数根；
②当m＞4且m≠5时,方程是一元二次方程,
△2=4(m+2)2－4m(m－5)=36m+16＞0
此时方程有两个不相等的实数根.
答：(略).