大师作文网怎么用定积分和微积分基本定理推导球的表面积公式?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 18:05:11
怎么用定积分和微积分基本定理推导球的表面积公式?
用微积分的基本定理推导球的表面积公式,我的方法如下：设球的半径为r,以球面任意大圆为水平面,只考虑半球的表面积,很显然这是若干相互平行的小圆周长在半径属于区间[0,r]上的定积分设半球内一点到水平面距离为x,f(x)为过这个点且与水平面平行的小圆的周长,显然有f(x) = 2π* (r^2 - x^2)^1/2,半球表面积S = ∫[0,r] f(x) dx （我实在不会把0和r打成上下排列） = F(r) - F(0),其中F(x) =4/3 π * (r^2 - x^2)^3/2解得S = 0 - 4/3π * r^3 = -4/3 π * r^3.这个答案显然是错误的,但我实在不知道错误出在哪儿,
用微积分的基本定理推导球的表面积公式,我的方法如下：设球的半径为r,以球面任意大圆为水平面,只考虑半球的表面积,很显然这是若干相互平行的小圆周长在半径属于区间[0,r]上的定积分设半球内一点到水平面距离为x,f(x)为过这个点且与水平面平行的小圆的周长,显然有f(x) = 2π* (r^2 - x^2)^1/2,半球表面积S = ∫[0,r] f(x) dx （我实在不会把0和r打成上下排列） = F(r) - F(0),其中F(x) =4/3 π * (r^2 - x^2)^3/2解得S = 0 - 4/3π * r^3 = -4/3 π * r^3.这个答案显然是错误的,但我实在不知道错误出在哪儿,
f(x) = √(r² - x²)
the formula for the surface area rotated about the x-axis is
S = 2π ∫[-r,r] f(x) √(1 + f'(x)²) dx
f '(x) = -x/√(r² - x²)
thus
√(1 + [f'(x)]²) = √(1 + x²/(r²-x²))
= √(r²/(r²-x²))
= r/√(r^2 - x^2)
thus
S = 2π ∫[-r,r] r dx
= 2π (rx) ... from -r to r
= 2π r (2r)
= 4π r²
另外的解法：
1 v=∫[0,r] A( r) dr ,v是体积
另外：公式
the formula for the surface area rotated about the x-axis is
S = 2π ∫[-r,r] f(x) √(1 + f'(x)²) dx
f '(x) = -x/√(r² - x²)
thus
√(1 + [f'(x)]²) = √(1 + x²/(r²-x²))
= √(r²/(r²-x²))
= r/√(r^2 - x^2)
thus
S = 2π ∫[-r,r] r dx
= 2π (rx) ... from -r to r
= 2π r (2r)
= 4π r²
另外的解法：
1 v=∫[0,r] A( r) dr ,v是体积
另外：公式