浮点数怎么计算?

浮点数怎么计算?

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浮点数运算
　　 假定有两个浮点数 X=Mx * 2Ex , Y=My * 2Ey
（1）加减运算
实现X±Y运算,需要如下五步:
1.1 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey.当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值.其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了).尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变.为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用.
1.2 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作.
1.3 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数,规格化处理规则如下:
\x09 当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出.此时应 使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规.
\x09 当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规.
1.4 舍入操作.在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用.舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累.常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值.该方案的最大误差为2-（n+1）.这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规.另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1.该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能.即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1.若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值.
1.5 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出.浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的.在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常,加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志.
例15：某浮点数阶码6位（含1位符号位：阶符）,补码表示,尾数10位（含1位符号位,数符）,补码表示, X=2010B * 0.11011011B, Y=2100B * (-0.10101100B),求 X+Y
由已知条件,Ex=+010B,Mx = 0.11011011 B,
Ey=+100B,My =-0.10101100 B
对应补码分别为
[Ex]补=[+010B] 补=[+00010B] 补=000010B
[Mx]补= [+0.11011011 B]补=[0.110110110 B] 补=0, 110110110 B
[Ey]补=[+100B] 补=[+00100B] 补=000100B
[-Ey]补=111100B
[My]补= [-0.10101100 B]补=[-0.101011000 B] 补=1, 010101000 B
浮点表示分别为：
　　　　　　　　　数符 　 阶码 　　 尾数数值
　 [X]浮 = 0 　　000010 　　　110110110
　　　　　[Y]浮 = 1 　　000100 　　　010101000
　15_（1）对阶
　　　 [△ E]补= [Ex]补+[-Ey]补= 00 00010B + 11 11100B = 11 11110B
△E =-00010B=-2,说明X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2
所以修正[X]浮 = 0 000100 001101101 10
15_（2）尾数求和
　　　　　00 001101101 10
　　　　+ 11 010101000
　　　　 11 100010101 10
15_（3）尾数规格化
　　 尾数运算结果的符号位与最高数值位均为1,应执行左规处理,具体为：将尾数左移一位,符号位1位,结果为1000101011, 阶码减1变为000011.
　　15_（4）尾数移出位的舍入处理
　 左规已将对阶移出的1位有效1移入,尾数不用做舍入处理.
　　15_（5）判溢出,写结果
　　尾数已规格化且阶码符号位为00,没有溢出,最终结果为
[Ex+y]补=000011 Ex+y=+00011B
[Mx+y]补=1000101011 Mx+y=-0.111010101B
所以,X+Y = 2+0011B *(-0.111010101B)
（2）乘法运算
实现X*Y运算,需要如下三步:
2.1 尾数相乘（两个定点小数相乘）
2.2 阶码求和
2.3 结果左规、舍入
例16：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符）,补码表示,尾数3位（含1位符号位,数符）,原码表示, X=210B * 0.1101B, Y=2-01B * (-0.1011B),求 X*Y
由已知条件,Ex=+10B,Mx = 0.1101 B,
Ey=-01B,My =-0.1011 B
对应机器数分别为：
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+0.1101 B]原=0, 1101 B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-0.1011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
　　　　　　　　　数符 　 阶码 　 尾数数值
　 [X]浮 = 0 　　 010 　 1101
　　　　　[Y]浮 = 1 　　 111 　 1011
　16_（1）尾数相乘（Mx* My）
　　　 1.1 [ | Mx | ]原= [+0.1101 B]原=0, 1101 B
[|My | ]原= [+0.1011B]原=0, 1011B
\x09 1.2 高 位 积 乘数/低位积
Y0
00 0000 1 0 1 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
00 1101
右移 00 0110 1 1 0 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
01 0011
右移 00 1001 1 1 1 0
+[ Y0*|X| ]补 00 0000
00 1001
右移 00 0100 1 1 1 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
01 0001
右移 00 1000 1 1 1 1
\x09 1.3 [Mx * My] 符号=[ Mx ]符号♁[My]符号=0♁1=1
1.4 [Mx * My] 原=1,100011110B
16_（2）阶码求和
　　　　　00 10
　　　　+ 11 11
　　　　 00 01
16_（3）结果左规、舍入
　　 尾数已为规格化形式,由于数值部分职能保存4位,需对小数点后第5位进行0设1入,最终尾数原码为1,1001B
最终运算结果为：1 001 1001
所以,X*Y = 2+01B *(-0.1001B)
（3）除法运算
实现X/Y运算,需要如下三步:
3.1 尾数相除（两个定点小数相除）
3.2 阶码相减
3.3 结果规格化及舍入
例17：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符）,补码表示,尾数3位（含1位符号位,数符）,原码表示, X=210B * 0.0011B, Y=2-01B * 0.1011B,求 X/Y
由已知条件,Ex=+10B,Mx = 0.0011 B,
Ey=-01B,My =-0.1011 B
对应机器数分别为
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+0.0011 B]原=0, 0011B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-0.1011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
　　　　　　　　　数符 　 阶码 　 尾数数值
　 [X]浮 = 0 　　 010 　 0011
　　　　　[Y]浮 = 1 　　 111 　 1011
　17_（1）尾数相除（Mx/ My）
　　　 1.1 [ | Mx | ]原= [+0.00110000 B]原=0, 00110000 B
[|My | ]原= [+0.1011B]原=0, 1011B
[-|My | ]补= 1, 0101B
\x09 1.2 被除数高位/余数 被除数低位/商
00 0011 00000
+[-|My |]补 11 0101
11 1100 00000
左移 11 1000 00000
+[ |My |]补 00 1011
00 0011 00001
左移 00 0110 00010
+[-|My |]补 11 0101
11 1011 00010
左移 11 0110 00100
+[|My |]补 00 1011
00 0001 00101
左移 00 0010 01010
+[-|My |]补 11 0101
11 0111 01010
+[|My |]补 00 1011
00 0010
\x09 1.3 [Mx /My] 商符号=[ Mx ]符号♁[My]符号=0♁0=0
1.4 [Mx / My] 商原=0,1010B
17_（2）阶码相减
[-Ey]补=[+01B]补=001B
　　　　　00 10
　　　　+ 00 01
　　　　 00 11
17_（3）结果规格化、舍入
　　 尾数已为规格化形式,余数过小,结果也不必舍入,
最终运算结果为：0 011 1010
所以,X*Y = 2+11B *(+0.1010B)