2012年乌鲁木齐市第一次诊断性测验

2012年乌鲁木齐市第一次诊断性测验

乌鲁木齐地区2012年高三年级第一次诊断性测验
　　理科数学试题参考答案及评分标准
　　一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）
　　题号\x091\x092\x093\x094\x095\x096\x097\x098\x099\x0910\x0911\x0912
　　选项\x09A\x09C\x09B\x09A\x09C\x09A\x09B\x09B\x09B\x09C\x09B\x09D
　　1．选A.【解析】 ．
　　2．选C.【解析】由集合概念知： 存在且 ,故排除A、B；若 ,或 ,或 时,均有 ,不合题意,故排除D；若 ,或 时,均符合题意.
　　3．选B.【解析】根据题意,它是一个圆柱和一个 的球的组合体.
　　4．选A.【解析】由三角函数定义得点 ,它在直线 上,
　　∴ ,即 ,两边平方,化简得 .
　　5．选C.【解析】作出可行区域,如图, .
　　6．选A. 【解析】∵ , ,
　　∴ .
　　7．选B.【解析】 ,当 时,
　　未必是一次函数,但当 为一次函数时,有 且 ．
　　8．选B.【解析】 ,由几何概型知点落入阴影部分的概率为 ,故 的值会稳定于 ．
　　9． 选B.【解析】∵ ,且 ,∴当 , ,函数递增； , ,函数递减.而 时 ,∴函数 的零点只有1个,即 .
　　10．选C.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为 时,可设直线方程为 ,由 ,解得 ；②截距不为 时,可设直线方程为 ,由 ,解得 ．因此符合题意的直线共有4条．
　　11．选B.【解析】由题知：令 时有 ,解得 ,
　　∴ ．
　　12．选D.【解析】如图,∵ ,∴ ,在 上取一点
　　使 ,则题中的角 可用 表示．
　　∴在△ 中, ,
　　解得 ,于是 , ．
　　二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分）
　　13． 填 .【解析】∵ , ,∴ , ,不妨设双曲线方程为 ,由对称性知,焦点 到渐近线 的距离 ．
　　14．填 .【解析】经过 次循环, , ,∴ 时,
　　．
　　15．填 .【解析】由题知： 是 的中点,又 ,∴在 △ 中, ,∴ , ．
　　16．（理科)填 .【解析】由题设知 ,
　　．故 ．
　　三、解答题（共6小题,共70分）
　　17．（本小题满分12分）
　　（1） ； …5分
　　（2） 的可能取值是 , , ．
　　时同问题（1）,即 ；
　　；
　　．
　　∴ 的分布列为
　　∴ ． …12分
　　18．（本小题满分12分）
　　（1）∵三棱柱 为直三棱柱,∴ ．
　　又 ,∴ ,
　　而 ,∴ ； …6分
　　（2）
　　如图所示,建立空间直角坐标系 ,可取 为平面 的一个法向量．设平面 的一个法向量为 ．则 , ,其中 , ,
　　∴ ∴ 不妨取 ,则 ．
　　．
　　∴二面角 的余弦值的大小是 ． …12分
　　19．（本小题满分12分）
　　（1）由已知 ,
　　∴ ,∴ ,
　　又 ,
　　由已知 ,∴ ,即 ,
　　而 ,所以 ． …6分
　　（2）由已知 ,
　　代入 中,得 ．
　　在△ 中,由余弦定理得：
　　≥ ,当且仅当 ,
　　即 时,等号成立,此时 的最小值是 ． …12分
　　20.（本小题满分12分）
　　（1） 点 不满足 ,∴ 在椭圆 上,∴ ,
　　由椭圆性质知： ≤ ,而 ,∴点 在抛物线上,
　　由 ,解得 ．
　　又点 只能在椭圆上,∴ ,∴ ,
　　∴椭圆的方程为 ,抛物线的方程为 ． …6分
　　（2）
　　设 , ,又 , ,联立直线 , 的方程
　　消去 得 （*）
　　由 消去 得 ．
　　则 消去 得 ．
　　代入（*）得 ．
　　∴两直线 、 的交点在抛物线的准线 上． …12分
　　21.（本小题满分12分）
　　（1）显然 ,因此 ,∴ 或 ．
　　．
　　当 时,易知 ,或 ,则 在 上单调．所以
　　由题意 ,解得 ,或 （舍去）．
　　当 时, 不合题意．
　　综上： ,∴ 的解析式为 ． …6分
　　（2）由（1）知： ,于是 在 上单调递减,则
　　≤ ≤ ,即 ．
　　由题意可知：即要使 时满足 ≤ ,且 ≥ ．
　　而 ≥ ,故 在 上单调递增．
　　∴ ≤ ,且 ≥ ．
　　解得 ≤ ,或 ≤ ≤ ． …12分
　　请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
　　22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
　　（1）连结 , ,又 ,∴ ．
　　是 的切线,∴在 △ 中, 是斜边 上的中线．
　　∴ ,∴ ,
　　∴ ； …5分
　　（2）由题意知： 、 、 、 四点共圆,∴ ．
　　由（1）知： ,∴ ,而 是 的切线,
　　∴弦切角 , ∴ ．∴ ． …10分
　　23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
　　（1）设点 , ,则由已知：
　　而 满足 故得：
　　（ 为参数）为所求曲线 的方程； …5分
　　（2）曲线 的极坐标方程为 , 在曲线 上,所以 ．
　　曲线 的极坐标方程为 , 将 代入曲线 的极坐标方程中,得 ,即 ． …10分
　　24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
　　（1）不等式可化为： ≥ ,解得 ≥ ,或 ≤ ．
　　故不等式 ≥ 的解集为 ≥ ,或 ≤ ； …5分
　　（2）由 ≥ ,得 ≥ ．可化为不等式组
　　或 即 或
　　,∴不等式组的解集为 ≤ ≤ ．
　　依题意令 解得 ． …10分
　　以上各题的其它解法,限于篇幅,从略．请相应评分.