大师作文网一道数学分析的题,证明凸函数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/10 08:34:25
一道数学分析的题,证明凸函数
函数f(x)在区间I内有一阶导数,并且在除了有限个点外,其余点上的二阶导数的值全都大于零,证明函数在区间I内为凸函数.
函数f(x)在区间I内有一阶导数,并且在除了有限个点外,其余点上的二阶导数的值全都大于零,证明函数在区间I内为凸函数.
先证明一阶导数仍然是单调的.
任取a
再问： 这个不能保证一阶导数在an处的连续性啊，这样的话lagrange中值定理就不适用了
再答： 你考虑的的确挺周全的。 (an，b)间二阶导数大于零，所以一阶导数单调递增。所以一阶导数在an+有极限（暂且可以为负无穷） 而导数具有介值性， 那么一阶导数在an处的值必然等于其在an+的极限，否则与介值性矛盾。 左侧极限也类似，所以一阶导数在an处必然连续。 其余点也一样。
再问： 关于介值性那里还是不太懂，是哪里与介值性矛盾？ 我想了一下，你看下这样行吗。原函数是连续的，由单调性这些间断点左右的导数都存在极限，如果极限是有限的话，导函数不存在第一类间断点所以肯定是连续的。如果极限是无穷的，也可以有类似前者的推论
再答： 导函数不存在第一类间断点就是因为导函数有介值性。是导函数的介值性不是原函数的！ 理由和你的一样，就是这个原因。 关于导函数的介值性，叫做darboux定理，我发消息给你了，你也可以百度这个。
任取a
再问： 这个不能保证一阶导数在an处的连续性啊，这样的话lagrange中值定理就不适用了
再答： 你考虑的的确挺周全的。 (an，b)间二阶导数大于零，所以一阶导数单调递增。所以一阶导数在an+有极限（暂且可以为负无穷） 而导数具有介值性， 那么一阶导数在an处的值必然等于其在an+的极限，否则与介值性矛盾。 左侧极限也类似，所以一阶导数在an处必然连续。 其余点也一样。
再问： 关于介值性那里还是不太懂，是哪里与介值性矛盾？ 我想了一下，你看下这样行吗。原函数是连续的，由单调性这些间断点左右的导数都存在极限，如果极限是有限的话，导函数不存在第一类间断点所以肯定是连续的。如果极限是无穷的，也可以有类似前者的推论
再答： 导函数不存在第一类间断点就是因为导函数有介值性。是导函数的介值性不是原函数的！ 理由和你的一样，就是这个原因。 关于导函数的介值性，叫做darboux定理，我发消息给你了，你也可以百度这个。