用演绎推理求证当1≤n≤4时,f(n)=(2n+7)*3^n+9能被36整除
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 19:19:16
用演绎推理求证当1≤n≤4时,f(n)=(2n+7)*3^n+9能被36整除
证明:
(1) 当n=1时,f(1)=(2·1+7)·3+9=36,能被36整除.
(2) 假设n=k时,f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除,当n=k+1时,
f(k+1)=(2k+9)·3^(k+1)+9=3[(2k+7)·3^k+9]+18[3^(k-1)-1],由归纳假设(2k+7)·3^k+9能被36整除,又3^(k-1)-1是偶数,
∴ 18[3^(k-1)-1]能被36整除,
∴ f(k+1)能被36整除.
所以f(n)=(2n+7)·3^n+9能被36整除.
(1) 当n=1时,f(1)=(2·1+7)·3+9=36,能被36整除.
(2) 假设n=k时,f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除,当n=k+1时,
f(k+1)=(2k+9)·3^(k+1)+9=3[(2k+7)·3^k+9]+18[3^(k-1)-1],由归纳假设(2k+7)·3^k+9能被36整除,又3^(k-1)-1是偶数,
∴ 18[3^(k-1)-1]能被36整除,
∴ f(k+1)能被36整除.
所以f(n)=(2n+7)·3^n+9能被36整除.
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