在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 03:17:20
在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.
∵C≧60°,显然有:C<180°,∴30°≦C/2<90°,∴1/2≦sin(C/2)≦1,
∴1/sin(C/2)≧1······①
考虑到:0°<A<180°、0°<B<180°,∴-90°<(A-B)/2<90°,
∴0<cos[(A-B)/2]<1.······②
由①、②,得:cos[(A-B)/2]/sin(C/2)≧1/sin(C/2).······③
在△ABC中,有:0°<A+B<180°,∴0°<(A+B)/2<90°,∴sin[(A+B)/2]>0,
∴由③,得:
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/{2sin[(A+B)/2]sin(C/2)}≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/[2cos(C/2)sin(C/2)]≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/sinC≧1/sin(C/2).
结合正弦定理,得:(a+b)/c≧1/sin(C/2),∴4+(a+b)/c≧4+1/sin(C/2).······④
显然有:a/b+b/a≧2,∴2+a/b+b/a≧4,∴(1+b/a)+(1+a/b)≧4,
∴(a+b)/a+(a+b)/b≧4,∴(a+b)(1/a+1/b)≧4.······⑤
④+⑤,得:(a+b)(1/a+1/b+1/c)≧4+1/sin(C/2).
∴1/sin(C/2)≧1······①
考虑到:0°<A<180°、0°<B<180°,∴-90°<(A-B)/2<90°,
∴0<cos[(A-B)/2]<1.······②
由①、②,得:cos[(A-B)/2]/sin(C/2)≧1/sin(C/2).······③
在△ABC中,有:0°<A+B<180°,∴0°<(A+B)/2<90°,∴sin[(A+B)/2]>0,
∴由③,得:
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/{2sin[(A+B)/2]sin(C/2)}≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/[2cos(C/2)sin(C/2)]≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/sinC≧1/sin(C/2).
结合正弦定理,得:(a+b)/c≧1/sin(C/2),∴4+(a+b)/c≧4+1/sin(C/2).······④
显然有:a/b+b/a≧2,∴2+a/b+b/a≧4,∴(1+b/a)+(1+a/b)≧4,
∴(a+b)/a+(a+b)/b≧4,∴(a+b)(1/a+1/b)≧4.······⑤
④+⑤,得:(a+b)(1/a+1/b+1/c)≧4+1/sin(C/2).
在直角三角形ABC中 角C =90°证明sin²A+sin²B=1
三角形ABC中证明 COSA+COSB+COSC=1+4SIN(A/2)*SIN(B/2)*SIN(C/2)
正实数a,b,c满足abc=1,证明(a+b)(b+c)(a+c)≥4(a+b+c-1)
在三角形ABC中 sinAsinBsinC=二分之根号三(sin^2A+sin^2B-sin^2C) 求∠C大小
三角形ABC中,sinA=二分之根号二 sinB=1/2 求sin(A+B) 若a=2,求b,c
在△ABC中,求证:sin^2A+sin^2B+cos^2C+2sinAsinBcos(A+B)=1
证明,在三角形ABC中,不等式1/A+1/B+1/C≥9/π
放缩法 在△ABC中,证明a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
1、在Δ ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则Δ ABC必是 ( ) A、等腰三角形 B、直角三角
高中三角函数证明题在锐角三角形ABC中,证明:sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*si
在△abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sinc +cosc = 1 -sin(c/2) (1)求sinc
在三角形ABC中,内角A,B,c的对边a,b,c.已知(2c-a)/b=(cosA-2cosC)/cosB.1、求sin