函数知识点

对数函数，指数函数，幂函数的性质及其图像怎么用？

解题思路： 请结合例题用心体会
解题过程：
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 课程目标 理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；理解对数的概念及其运算性质，理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数y=a^x与对数函数互为反函数（）。了解幂函数的概念。结合函数y=x，y=x²，y=x³，，的图象，了解它们的变化情况。 课程重点 指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。 课程难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。 教学方法建议 首先回顾指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等基础知识。再通过经典例题的剖析，帮助学生理解基础知识，加深对知识的认识和记忆。再通过精题精练，使学生形成能力。在例题和习题的选择上可以根据学生的实际情况进行。 选材程度及数量 课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A类 （ 4 ）道 （ 4 ）道 （ 11 ）道 B类 （ 3 ）道 （ 3 ）道 （ 10 ）道 C类 （ 0 ）道 （ 0 ）道 （ 0 ）道 一：考纲解读、有的放矢 理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。理解对数的概念及其运算性质。理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数y=a^x与对数函数互为反函数（）。了解幂函数的概念。结合函数y=x，y=x²，y=x³，，的图象，了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。 二: 核心梳理、茅塞顿开 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果,那么叫做的次方根 当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数 零的次方根是零 当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根 n为奇数 n为偶数（2）．两个重要公式 ① ； ②（注意必须使有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:; ②正数的负分数指数幂: ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a^ra^s=a^r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a^r)^s=a^rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)^r=a^rb^s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a^x a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 （0，+） 性质 （1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a^x,（2）y=b^x,（3）,y=c^x（4）,y=d^x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c¹>d¹>1>a¹>b¹,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 常用对数 底数为10 自然对数 底数为e 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）：①，②，③，④。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：； ②。 （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①； ②； ③； ④。 3、对数函数的图象与性质 图象 性质 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数 指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x^α（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x³，y=x²，y=x，，y=x^-1方法：可画出x=x₀； 当x₀>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x³，y=x²， y=x，， y=x^-1； 当0<x₀<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x^-1， ，y=x， y=x²，y=x³ 。 3、幂函数的性质 y=x y=x² y=x³ y=x^-1 定义域 R R R [0，） 值域 R [0，） R [0，） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，）时，增； x∈时，减 增 增 x∈(0,+)时，减； x∈(-,0)时，减 定点 （1，1） 三：例题诠释，举一反三 知识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A) （1）计算：； （2）化简： 变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） （2） (3) 知识点2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个  B.2个 C.3个 D.4个 变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质 例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断函数的单调性; （Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. （1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求值 例4.（2010云浮A）计算：（1） （2）2(lg)²+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 变式：（2010惠州A）化简求值. （1）log₂+log₂12-log₂42-1; （2）(lg2)²+lg2·lg50+lg25; （3）(log₃2+log₉2)·(log₄3+log₈3). 知识点5：对数函数的性质 例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式： ① ②； ③ ④ 其中成立的是（ ） （A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④ 变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log_a的大小关系是 （ ） A.log_a B. C. D. 例6.（2010广州B）已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log₂(x²-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 知识点6：幂函数的图象及应用 例7.(2009佛山B)已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）． 变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性. 四：方向预测、胜利在望 1．（A）函数的定义域为（ ） A．(1，4) B．[1，4) C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A）以下四个数中的最大者是（ ） (A) (ln2)² (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2 3（B）设a>1，函数f(x)=log_ax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为则a=( ) (A) （B）2 （C）2 （D）4 4.（A）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（ ） （A）　　（B）　　（C）　　（D） 5.（B）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ） (A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞） (C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2） 6．（A）设，，，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．(A)已知，则( ) A． B． C． D． 8．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是（ ） （A） (B) (C) (D) 9.（A）函数的定义域是：（ ） A B C D 10.(A)已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（ ） A． B． C． D． 11．（B）若函数、三、四象限，则一定有（ ） A． B． C． D． 12．(B)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ） A. B. C. D. 13.(A)已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ） （A） （B） （C） （D） 14.（A）已知，那么等于（ ） （A） （B）8 （C）18 （D） 15．（B）函数y＝lg|x| （ ） 　A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增　B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 　C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增　D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A）函数的定义域是 ____________________________. 17．（B）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ． 18．（A）设 则__________ 19．（B）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为___________. 20．(B)若函数是奇函数，则a= ． 21.(B)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 参考答案： 三：例题诠释，举一反三 例1. 解：（1），（2） 变式：解：（1）1, （2） (3)110 例2. 解：B 变式：解：； 例3. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ） 变式：解：（1）a=1.（2）略 例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）. 变式：解：(1)（2）2.（3） 例5. 解：选D。 变式：解： C 例6. 解：(1，3］∪［，1） 变式：解：{a|2-2≤a＜2} 例7. 解：（1）当或时，； 　（2）当时，； 　（3）当且时，． 变式：解：（1）f(x)=x^-4. （2）F（x）=， ∴F（-x）=+bx³. ①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数； ②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数； ③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数； ④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望 1—5 ADDDC； 6—10 AADDA； 11—15 CADDB. 16. (-¥, 3)È(3,4) 17. 4 18. 19.[-1,0] 20. 21．[解]x须满足 所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有 ，所以是奇函数. 研究在（0，1）内的单调性，任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁<x₂ ，则 得>0，即在（0，1）内单调递减， 由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
最终答案：略