急急急急(应该可以利用平移、旋转那里的知识解决,我看好像是闯关100分里的题吧)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 10:23:37
急急急急(应该可以利用平移、旋转那里的知识解决,我看好像是闯关100分里的题吧)
设正方形ABCD的边长为1,PQ分别是AB、AD上的点,且△APQ周长为2,求∠PCQ的度数
设正方形ABCD的边长为1,PQ分别是AB、AD上的点,且△APQ周长为2,求∠PCQ的度数
方法一:
延长QD到M,使得DM=PB,连接MC
则:RT三角形MDC全等于RT三角形PBC
所以:MC=PC,∠MCD=∠PCB
而:PQ=2-AQ-AP=(1-AQ)+(1-AP)=DQ+PB=DQ+DM=QM
再有:QC是公共边
所以:三角形MCQ全等于三角形PCQ
所以:∠QCP=∠QCM=∠MCD+∠DCQ=∠PCB+∠DCQ
而:∠DCB=∠QCP+∠PCB+∠DCQ=2∠QCP=90度
所以:∠QCP=45度
方法二:
设DQ=m,PB=n
则:AQ=1-m,AP=1-n,PQ=2-AQ-AP=m+n
AQ^2+AP^2=PQ^2
(1-m)^2+(1-n)^2=(m+n)^2
1-2m+m^2+1-2n+n^2=m^2+2mn+n^2
m+n=1-mn
tan∠DCQ=m,tan∠BCP=n
tan(∠DCQ+∠BCP)=(m+n)/(1-mn)=1
所以:∠DCQ+∠BCP=45度
∠PCQ=∠BCD-(∠DCQ+∠BCP)=90度-45度=45度
延长QD到M,使得DM=PB,连接MC
则:RT三角形MDC全等于RT三角形PBC
所以:MC=PC,∠MCD=∠PCB
而:PQ=2-AQ-AP=(1-AQ)+(1-AP)=DQ+PB=DQ+DM=QM
再有:QC是公共边
所以:三角形MCQ全等于三角形PCQ
所以:∠QCP=∠QCM=∠MCD+∠DCQ=∠PCB+∠DCQ
而:∠DCB=∠QCP+∠PCB+∠DCQ=2∠QCP=90度
所以:∠QCP=45度
方法二:
设DQ=m,PB=n
则:AQ=1-m,AP=1-n,PQ=2-AQ-AP=m+n
AQ^2+AP^2=PQ^2
(1-m)^2+(1-n)^2=(m+n)^2
1-2m+m^2+1-2n+n^2=m^2+2mn+n^2
m+n=1-mn
tan∠DCQ=m,tan∠BCP=n
tan(∠DCQ+∠BCP)=(m+n)/(1-mn)=1
所以:∠DCQ+∠BCP=45度
∠PCQ=∠BCD-(∠DCQ+∠BCP)=90度-45度=45度
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