大师作文网立体几何两道 三角函数一道
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 22:55:03
立体几何两道 三角函数一道
先助你解二题
3
(1)解析：∵PA⊥面ABC,AC⊥BC,∠ABC=30°,PA=AB=2
∴面PAB⊥面ABC,面PAC⊥面ABC,BC⊥面PAC
∴PB与面PAC所成角为∠BPC
AC=1/2AB=1==>PC=√5,BC=√3
∴tan∠BPC=√15/5
∴PB与面PAC所成角正切值为√15/5
(2)解析：取PA,AB,BC的中点E,F,G
连接EF,FG,EG,EC
∴EF//PB,EF=1/2PB=√2,FG//AC,FG=1/2AC=1/2
EC=√(AE^2+AC^2)= √2
EG=√(CE^2+GC^2)= √(2+3/4)= √11/2
由余弦定理得cos∠EFG=(EF^2+FG^2-EG^2)/(2EF*FG)=-1/2
∴AC与PB所成角的余弦值为-1/2
(3)解析：过A作AD⊥PB交PB于D,D为PB中点
∴AD=√2
过D作DM⊥PB交PC于M,连接AM
∴∠ADM是二面角A-PB-C的平面角
在⊿PCB中,BC⊥PC,tan∠CPB=BC/PC=√15/5
又tan∠CPB=DM/PD=√15/5==>DM=√30/5
∴PM=√(PD^2+DM^2)=4√5/5
在⊿PAC中,cos∠CPA=PA/PC=2√5/5
∴由余弦定理得AM=√(PM^2+PA^2-2PM*PA*cos∠CPA)
= √(16/5+4-2*4√5/5*2*2√5/5)=2√5/5
在⊿ADM中,AD=√2,DM=√30/5,AM=2√5/5
由余弦定理得cos∠ADM=(AD^2+DM^2-AM^2)/(2AD*DM)
=(2+6/5-4/5)/(2*√2*√30/5)=√15/5
∴sin∠ADM=√10/5
∴二面角A-PB-C的正弦值为√10/5
2
(1)解析：f(x)=[sin(x-π/8)-cos(x-π/8)]√2cos(x-π/8)+√2/2
=[sin(x-π/8) cos(x-π/8)-(cos(x-π/8))^2]√2+√2/2
=[1/2sin(2x-π/4)-1/2cos(2x-π/4)-1/2]√2+√2/2
=[1/2sin(2x-π/4)-1/2cos(2x-π/4)]√2
=sin(2x-π/2)=-cos2x
定义域为R,最小正周期为π
(2)解析：∵g(x)=4kf(x)-f(2x)-3 (k>1),其最大值为6
g(x)=-4kcos2x+cos4x-3
令g’(x)=8ksin2x-4sin4x=8sin2x(k-cos2x)=0
Sin2x=0==>x1=mπ,x2=mπ+π/2 (m∈Z)
g’’(x)=16kcos2x-16cos4x==> g’’(x1)>0,g’’(x2)k=2
∴k=2
3
(1)解析：∵PA⊥面ABC,AC⊥BC,∠ABC=30°,PA=AB=2
∴面PAB⊥面ABC,面PAC⊥面ABC,BC⊥面PAC
∴PB与面PAC所成角为∠BPC
AC=1/2AB=1==>PC=√5,BC=√3
∴tan∠BPC=√15/5
∴PB与面PAC所成角正切值为√15/5
(2)解析：取PA,AB,BC的中点E,F,G
连接EF,FG,EG,EC
∴EF//PB,EF=1/2PB=√2,FG//AC,FG=1/2AC=1/2
EC=√(AE^2+AC^2)= √2
EG=√(CE^2+GC^2)= √(2+3/4)= √11/2
由余弦定理得cos∠EFG=(EF^2+FG^2-EG^2)/(2EF*FG)=-1/2
∴AC与PB所成角的余弦值为-1/2
(3)解析：过A作AD⊥PB交PB于D,D为PB中点
∴AD=√2
过D作DM⊥PB交PC于M,连接AM
∴∠ADM是二面角A-PB-C的平面角
在⊿PCB中,BC⊥PC,tan∠CPB=BC/PC=√15/5
又tan∠CPB=DM/PD=√15/5==>DM=√30/5
∴PM=√(PD^2+DM^2)=4√5/5
在⊿PAC中,cos∠CPA=PA/PC=2√5/5
∴由余弦定理得AM=√(PM^2+PA^2-2PM*PA*cos∠CPA)
= √(16/5+4-2*4√5/5*2*2√5/5)=2√5/5
在⊿ADM中,AD=√2,DM=√30/5,AM=2√5/5
由余弦定理得cos∠ADM=(AD^2+DM^2-AM^2)/(2AD*DM)
=(2+6/5-4/5)/(2*√2*√30/5)=√15/5
∴sin∠ADM=√10/5
∴二面角A-PB-C的正弦值为√10/5
2
(1)解析：f(x)=[sin(x-π/8)-cos(x-π/8)]√2cos(x-π/8)+√2/2
=[sin(x-π/8) cos(x-π/8)-(cos(x-π/8))^2]√2+√2/2
=[1/2sin(2x-π/4)-1/2cos(2x-π/4)-1/2]√2+√2/2
=[1/2sin(2x-π/4)-1/2cos(2x-π/4)]√2
=sin(2x-π/2)=-cos2x
定义域为R,最小正周期为π
(2)解析：∵g(x)=4kf(x)-f(2x)-3 (k>1),其最大值为6
g(x)=-4kcos2x+cos4x-3
令g’(x)=8ksin2x-4sin4x=8sin2x(k-cos2x)=0
Sin2x=0==>x1=mπ,x2=mπ+π/2 (m∈Z)
g’’(x)=16kcos2x-16cos4x==> g’’(x1)>0,g’’(x2)k=2
∴k=2