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已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2，

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 17:59:20
已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2，
（1）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程．
已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2，
（1）由已知得，f(x)＝x3−
3
2ax2+b，
由f′（x）=0，得x1=0，x2=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，
∴b=1．
又f（1）=1-
3
2a+1=2-
3
2a，
f（-1）=-1-
3
2a+1=-
3
2a，
∴f（-1）＜f（1）．即-
3
2a=-2，得a=
4
3．
故a=
4
3，b=1；
（2）由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f′（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
①当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（x）|x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
②当点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），
切线l的斜率k=k=f′（x0）=3x02−4x0，
∴l的方程为y-y0=（3x02-4x0）（x-x0）．
又点P（2，1）在l上，
∴1-y0=（3x02-4x0）（2-x0），
∴1-（x03-2x02+1）=（3x02-4x0）（2-x0），
∴x02（2-x0）=（3x02-4x0）（2-x0），
∴x02=3x02-4x0，
即2x0（x0-2）=0，
∴x0=0．
∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
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