大师作文网已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 14:54:46
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8
问：已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.
求证：当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
问：已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.
求证：当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
（1）由x+ky-3=0得,（x-3）+ky=0,
所以直线过定点（3,0）,即F为（3,0）．
设椭圆C的方程为 x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）,
则 {c=3a+c=8a2=b2+c2解得 {a=5b=4c=3
故所求椭圆C的方程为 x225+ y216=1．
（2）因为点P（m,n）在椭圆C上运动,所以 m225+ n216=1．
从而圆心O到直线l的距离
d= 1m2+n2= 1m2+16(1-125m2)= 1925m2+16＜1．
所以直线l与圆O恒相交．
又直线l被圆O截得的弦长
L=2 r2-d2=2 1-1m2+n2=2 1-1925m2+16,由于0≤m2≤25,
所以16≤ 925m2+16≤25,则L∈[ 152,465],
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[ 152,465]．
分数中间的线没有显示上 自己理解呵呵
所以直线过定点（3,0）,即F为（3,0）．
设椭圆C的方程为 x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）,
则 {c=3a+c=8a2=b2+c2解得 {a=5b=4c=3
故所求椭圆C的方程为 x225+ y216=1．
（2）因为点P（m,n）在椭圆C上运动,所以 m225+ n216=1．
从而圆心O到直线l的距离
d= 1m2+n2= 1m2+16(1-125m2)= 1925m2+16＜1．
所以直线l与圆O恒相交．
又直线l被圆O截得的弦长
L=2 r2-d2=2 1-1m2+n2=2 1-1925m2+16,由于0≤m2≤25,
所以16≤ 925m2+16≤25,则L∈[ 152,465],
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[ 152,465]．
分数中间的线没有显示上 自己理解呵呵
已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
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