在数列{an}中,a1=2/3,an+1=2an/an+1 证明{1/an -1}为等比数列 求数列{(2n-1)/an
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 07:16:09
在数列{an}中,a1=2/3,an+1=2an/an+1 证明{1/an -1}为等比数列 求数列{(2n-1)/an}的前n项和Sn
(1)
a(n+1)=2an/(an +1)
1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an)-1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an -1)=1/2,为定值.
1/a1-1=1/(2/3)-1=1/2
数列{1/an -1}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
(2)
1/an -1=1/2ⁿ
1/an=1+1/2ⁿ
(2n-1)/an=(2n-1)(1+1/2ⁿ)=(2n-1)+(2n-1)/2ⁿ=2n-1-1/2ⁿ+n/2^(n-1)
Sn=2(1+2+...+n)-n-(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)+1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
=n²+1/2ⁿ-1+[1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)]
令Cn=1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
则Cn/2=1/2+2/2²+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)-n/2ⁿ
=2(1-1/2ⁿ)-n/2ⁿ
Cn=4-4/2ⁿ-2n/2ⁿ
Sn=n²+1/2ⁿ-1+4-4/2ⁿ-2n/2ⁿ=n²-(2n+3)/2ⁿ +3
a(n+1)=2an/(an +1)
1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an)-1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an -1)=1/2,为定值.
1/a1-1=1/(2/3)-1=1/2
数列{1/an -1}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
(2)
1/an -1=1/2ⁿ
1/an=1+1/2ⁿ
(2n-1)/an=(2n-1)(1+1/2ⁿ)=(2n-1)+(2n-1)/2ⁿ=2n-1-1/2ⁿ+n/2^(n-1)
Sn=2(1+2+...+n)-n-(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)+1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
=n²+1/2ⁿ-1+[1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)]
令Cn=1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
则Cn/2=1/2+2/2²+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)-n/2ⁿ
=2(1-1/2ⁿ)-n/2ⁿ
Cn=4-4/2ⁿ-2n/2ⁿ
Sn=n²+1/2ⁿ-1+4-4/2ⁿ-2n/2ⁿ=n²-(2n+3)/2ⁿ +3
在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),证明数列{1/an-1}为等比数列,并求出数列{an
在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1/n)^2*an,证明:数列{an/n^2}是等比数列,并求an的通项公
在等差数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n属于N+)证明数列{an+1-an}是等比数列
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于正整数 (1)证明{an-n}是等比数列 (2)求数列{a
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数),证明数列{an-n}是等比数列
在数列{an}中,a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,且n属于N*) (1)证明:数列{an+n}是等比数列,
在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an,证明数列{an/n^2}是等比数列,并求{an}的
在数列中A1=2 An+1=4An-3n+1证明An-n是等比数列
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3~n,求an.为次方)
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3N+1(1)证明数列{an-N}是等比数列;(2)求数列{an}的前项和
数列an中,a1=3,an+an-1+2n-1=0(1)证明:数列an是等比数列,并求an通项公式;(2)求数列an的前
在数列{An}中a1=1/6,an=1/2an-1+1/2*1/3n,(1)证明数列{an+1/3n}是等比数列