大师作文网一道关于高中充要条件的证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 09:10:08
一道关于高中充要条件的证明题
设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
必要性是显然的：
这是由于f(0)=c是整数.
f(1)=a+b+c是整数,而c是整数,所以a+b也是整数.
f(2)=4a+2b+c是整数,而c和2a+2b是整数,所以2a也是整数.
下面证明充分性：
与必要性的证明相联系,考虑将f(n)=an²+bn+c表示为f(0)、f(1)与f(2)的线性组合的形式,
设f(n)=pf(2)+qf(1)+rf(0),解得p=n(n-1)/2,q=n(2-n),r=(n-2)(n-1)/2.
p、q、r均为整数,又由必要性的讨论知当2a、a+b、c均为整数时f(0)、f(1)、f(2)均为整数,所以f(n)也为整数.
这是由于f(0)=c是整数.
f(1)=a+b+c是整数,而c是整数,所以a+b也是整数.
f(2)=4a+2b+c是整数,而c和2a+2b是整数,所以2a也是整数.
下面证明充分性：
与必要性的证明相联系,考虑将f(n)=an²+bn+c表示为f(0)、f(1)与f(2)的线性组合的形式,
设f(n)=pf(2)+qf(1)+rf(0),解得p=n(n-1)/2,q=n(2-n),r=(n-2)(n-1)/2.
p、q、r均为整数,又由必要性的讨论知当2a、a+b、c均为整数时f(0)、f(1)、f(2)均为整数,所以f(n)也为整数.