大师作文网一道关于圆锥曲线的数学题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/29 18:31:55
一道关于圆锥曲线的数学题
椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF*向量FB=1,向量OF的模等于1.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）记椭圆的上顶点为M,直线L交椭圆于P、Q两点,问：是否存在直线L,使点F恰为△PQM的垂心?如存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由.
第一小题我已解出,就不麻烦您跟我讲第一小题了.
椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF*向量FB=1,向量OF的模等于1.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）记椭圆的上顶点为M,直线L交椭圆于P、Q两点,问：是否存在直线L,使点F恰为△PQM的垂心?如存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由.
第一小题我已解出,就不麻烦您跟我讲第一小题了.
1、椭圆方程为x²／2＋y²＝1
2、设P（x1,y1）Q(x2,y2),设直线存在,PQ垂直MF,MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1.PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²－2=0
x1+x2=-4m／3,x1x2=(2m²-2)／3.①
PF垂直MQ,PF斜率=y1／（x1-1）.MQ斜率=（y2-1）／x2.二者相乘=-1,
即y1(y2-1)／x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4／3.m=1舍去,所求直线方程为y=x-4／3.存在.
2、设P（x1,y1）Q(x2,y2),设直线存在,PQ垂直MF,MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1.PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²－2=0
x1+x2=-4m／3,x1x2=(2m²-2)／3.①
PF垂直MQ,PF斜率=y1／（x1-1）.MQ斜率=（y2-1）／x2.二者相乘=-1,
即y1(y2-1)／x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4／3.m=1舍去,所求直线方程为y=x-4／3.存在.