(2012•海淀区二模)已知函数f(x)=aln(x−a)−12x2+x(a<0).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 20:37:19
(2012•海淀区二模)已知函数f(x)=aln(x−a)−
x
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(I)f(x)的定义域为(a,+∞).
f′(x)=
a
x−a−x+1=
−x2+(a+1)x
x−a.
令f'(x)=0⇒x=0或x=a+1.
当-1<a<0时,a+1>0,函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表:
x(-∞,0)0(0,a+1)a+1(a+1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)↘极小值↗极大值↘所以,函数f(x)的单调递增区间是(0,a+1),单调递减区间是(a,0)和(a+1,+∞).…(4分)
(II)证明:当-1<a<2(ln2-1)<0时,
由(I)知,f(x)的极小值为f(0),极大值为f(a+1).
因为f(0)=aln(-a)>0,f(a+1)=−
1
2(a+1)2+(a+1)=
1
2(1−a2)>0,
且f(x)在(a+1,+∞)上是减函数,
所以f(x)至多有一个零点.
又因为f(a+2)=aln2−
1
2a2−a=−
1
2a[a−2(ln2−1)]<0,
所以函数f(x)只有一个零点x0,且a+1<x0<a+2.…(9分)
(III)因为−1<−
4
5<2(ln2−1),
所以任意x1,x2∈[0,x0]且x2-x1=1,
由(II)可知x1∈[0,a+1],x2∈(a+1,x0],且x2≥1.
因为函数f(x)在[0,a+1]上是增函数,在(a+1,+∞)上是减函数,
所以f(x1)≥f(0),f(x2)≤f(a+1),
∴f(x1)-f(x2)≥f(0)-f(1).
当a=−
4
5时,f(0)−f(1)=aln(
a
a−1)−
1
2=
4
5ln
9
4−
1
2>0.
所以f(x1)-f(x2)≥f(0)-f(1)>0
所以|f(x2)-f(x1)|的最小值为f(0)−f(1)=
4
5ln
9
4−
1
2.
所以使得|f(x2)-f(x1)|≥m恒成立的m的最大值为
4
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4−
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2.…(14分)
f′(x)=
a
x−a−x+1=
−x2+(a+1)x
x−a.
令f'(x)=0⇒x=0或x=a+1.
当-1<a<0时,a+1>0,函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表:
x(-∞,0)0(0,a+1)a+1(a+1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)↘极小值↗极大值↘所以,函数f(x)的单调递增区间是(0,a+1),单调递减区间是(a,0)和(a+1,+∞).…(4分)
(II)证明:当-1<a<2(ln2-1)<0时,
由(I)知,f(x)的极小值为f(0),极大值为f(a+1).
因为f(0)=aln(-a)>0,f(a+1)=−
1
2(a+1)2+(a+1)=
1
2(1−a2)>0,
且f(x)在(a+1,+∞)上是减函数,
所以f(x)至多有一个零点.
又因为f(a+2)=aln2−
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2a2−a=−
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2a[a−2(ln2−1)]<0,
所以函数f(x)只有一个零点x0,且a+1<x0<a+2.…(9分)
(III)因为−1<−
4
5<2(ln2−1),
所以任意x1,x2∈[0,x0]且x2-x1=1,
由(II)可知x1∈[0,a+1],x2∈(a+1,x0],且x2≥1.
因为函数f(x)在[0,a+1]上是增函数,在(a+1,+∞)上是减函数,
所以f(x1)≥f(0),f(x2)≤f(a+1),
∴f(x1)-f(x2)≥f(0)-f(1).
当a=−
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5时,f(0)−f(1)=aln(
a
a−1)−
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2=
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2>0.
所以f(x1)-f(x2)≥f(0)-f(1)>0
所以|f(x2)-f(x1)|的最小值为f(0)−f(1)=
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2.
所以使得|f(x2)-f(x1)|≥m恒成立的m的最大值为
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2.…(14分)
(2011•杭州二模)已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx.
(2013•宜宾二模)已知函数f(x)=−x2−2x+a(x<0)f(x−1)(x≥0),且函数y=f(x)-x恰有3个
(2013•丰台区二模)已知函数 f(x)=alnx−(a+1)x+12x2(a≥0).
(2013•珠海二模)已知函数f(x)=x2−ax+14x−4×2x−a,x≥ax<a,
(2013•海淀区二模)已知函数f(x)=1−cos2x2sin(x−π4).
已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R),g(x)=f(x)-x2+x
(2014•海淀区二模)已知函数f(x)=13x3+ax2+4x+b,其中a、b∈R且a≠0.
(2013•西城区二模)已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1,其中a>0.
已知函数f(x)=x2+aln x.
已知函数f(x)=x,g(x)=aln x,a∈R.
(2012•海淀区一模)已知函数f(x)=sinx+sin(x−π3).
已知函数f(x)=aln(x+1)+1/2x^2-ax+1(a>0).求函数y=f(x)的极值