已知x1x2是关于x的方程x^2-ax+a^2-a+1/4=0的两个实根,那么x1x2/x1+x2的最小值?最大值?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 08:21:37
已知x1x2是关于x的方程x^2-ax+a^2-a+1/4=0的两个实根,那么x1x2/x1+x2的最小值?最大值?
x²-ax+a²-a+1/4=0
因为两个实根,∴判别式△≥0有:
(-a)²-4(a²-a+1/4)≥0
3a²-4a+1≤0
1/3≤a≤1
又x1,x2为两个实根,根据根与系数的关系(即韦达定理)有:
x1x2=a²-a+1/4
x1+x2=a
∴x1x2/(x1+x2)=(a²-a+1/4)/a=a+ 1/(4a) -1
对函数f(a)=a+ 1/(4a)-1来说,
可以证明在[1/3,1/2]上是减函数,在[1/2,1]上是增函数(具体证明,设a1<a2∈[1/3,1],然后证f(a1)-f(a2)的正负即可).
∴当a=1/(4a)时,即a=1/2时,取最小值为:1/2+1/2 -1 =0
当a=1时,为:1+1/4 -1=1/4
当a=1/3时,为:1/3 +3/4 -1=1/12
∴最小值为0, 最大值为1/4
因为两个实根,∴判别式△≥0有:
(-a)²-4(a²-a+1/4)≥0
3a²-4a+1≤0
1/3≤a≤1
又x1,x2为两个实根,根据根与系数的关系(即韦达定理)有:
x1x2=a²-a+1/4
x1+x2=a
∴x1x2/(x1+x2)=(a²-a+1/4)/a=a+ 1/(4a) -1
对函数f(a)=a+ 1/(4a)-1来说,
可以证明在[1/3,1/2]上是减函数,在[1/2,1]上是增函数(具体证明,设a1<a2∈[1/3,1],然后证f(a1)-f(a2)的正负即可).
∴当a=1/(4a)时,即a=1/2时,取最小值为:1/2+1/2 -1 =0
当a=1时,为:1+1/4 -1=1/4
当a=1/3时,为:1/3 +3/4 -1=1/12
∴最小值为0, 最大值为1/4
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