2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 01:18:32
2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形
求n*n个方格中有多少个正方形?
求n*n个方格中有多少个正方形?
边长为1的正方形共有n^2个
为2的有(n-1)^2个
以此类推 直到边长为n的共有1个
即总共有1^2+2^2+3^2.+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 个
推导的方法:
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
为2的有(n-1)^2个
以此类推 直到边长为n的共有1个
即总共有1^2+2^2+3^2.+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 个
推导的方法:
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
在2乘2的方格图案中有5个正方形;在3乘3方格图案中有36个长方形;在4乘4方格图案中有?个正方形;
在2x2的方格图案中,共有___个正方形,如果是4x4的方格中,那么有___个正方形,在5X5的方格中有几个呢?
在2x2的方格图案中,共有___个正方形,如果是4x4的方格中,那么有___个正方形
如图所示的3×3方格图案中有多少个正方形?
4X4的方格图中共有多少个正方形?
如何在3x3的正方形方格图中,连接4个点组成面积为5的正方形?
在4乘4的方格中有5个同样大小的正方形,移动其中一个,与其他4个形成轴对称图形,有几种移法?
在一个4乘4方格图案中有30个正方形
如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,方格中有一条美丽可爱的小金鱼.
在2×2的方格中,画一条直线最多穿过3个方格;在3×3的方格中,画一条直线最多穿过5个方格.
如何将一个4*5的长方形(有20个方格)切3刀拼成一个正方形?
36个方格中2/3涂黄色,把黄色方格的4/5画斜线,画斜线部分有多少格