已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menela
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 20:28:14
已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
证明:在△ABC中,延长AC到E,使CE=CD,则AE=AC+CD,∠AED=∠C/2.
在AB边上取点F,使BF=BD,则AF=AB-BD,∠BDF=∠BFD.
连结DE,DF.
在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2; ①
∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C,
即∠BFD=(∠A+∠C)/2
又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2
∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED;②
由①②得△AED~△ADF(两个角对应相等的两个三角形相似)
则 AE/AD=AD/AF
从而 AD^2=AE×AF=(AC+CD)(AB-BD)=AB*AC-AC*BD+AB*CD-BD*CD ③
另,过B作DA的平行线交CA延长线于G点
从而 BD/DC=BA/AG ④
∵∠AGB=∠CAD=∠DAB=ABG
∴AB=AG 代入④得 BD/DC=BA/AC
从而 AB*CD-AC*BD=0 ⑤
将⑤代入③ 得 AD^2=AB*AC+0-BD*CD
=AB*AC-BD*DC
在AB边上取点F,使BF=BD,则AF=AB-BD,∠BDF=∠BFD.
连结DE,DF.
在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2; ①
∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C,
即∠BFD=(∠A+∠C)/2
又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2
∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED;②
由①②得△AED~△ADF(两个角对应相等的两个三角形相似)
则 AE/AD=AD/AF
从而 AD^2=AE×AF=(AC+CD)(AB-BD)=AB*AC-AC*BD+AB*CD-BD*CD ③
另,过B作DA的平行线交CA延长线于G点
从而 BD/DC=BA/AG ④
∵∠AGB=∠CAD=∠DAB=ABG
∴AB=AG 代入④得 BD/DC=BA/AC
从而 AB*CD-AC*BD=0 ⑤
将⑤代入③ 得 AD^2=AB*AC+0-BD*CD
=AB*AC-BD*DC
AD是三角形ABC的角平分线,求证AD^2=AB*AC-BD*DC
如图,已知三角形ABC中,AD是角平分线,求证:BD/DC=AB/AC
已知AD是三角形ABC中角BAC的角平分线,求证AB:AC=BD:DC
如图所示,已知AD是三角形ABC的角平分线,且AB>AC,求证:AB-AC>BD-DC
已知AD是三角形ABC的角平分线,AB大于AC求证AB减AC大于BD减DC
如图,已知AD是三角形ABC的角平分线,且AB大于AC.求证:AB-AC大于BD-DC
已知三角形ABC,AB大于AC,AD是角平分线,求证:BD大于DC
在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,是证明BD:DC=AB:AC,我们在学相似性,不要给我用正弦定理证
在三角形ABC中,AD为角A的平分线,求证:AB/AC=BD/DC
已知,如图,任意三角形ABC中,AD为角BAC的平分线,求证:BD:DC=AB:AC
角平分线定理的证明已知:△ABC中AD为角平分线,交BC边与D,求证:AB/AC=BD/DC
几何数学证明题已知在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,求证:AB/AC=BD/DC